Terifique se o campo F(x, y)=\left(y^{2}, 2 x y+e^{3 z}, 3 y e^{3 z}\right) é conservativo, em caso afirmativo determine uma função f tal que \nabla f=F.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
F(x,y,z)=\bigl(y^2,\;2xy+e^{3z},\;3y e^{3z}\bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
O conteúdo envolvido é cálculo de rotacional para campos em \mathbb R^3 e construção de potencial por integração de derivadas parciais.

Passo 2

Para checar se F é conservativo numa região simplesmente conexa ( \mathbb R^3), calculamos \nabla\times F.
1. \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =3e^{3z}-3e^{3z}=0
2. \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =0-0=0
3. \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2y-2y=0
Logo \nabla\times F=0 em todo \mathbb R^3, então F é conservativo.

Passo 3

Como F é conservativo, existe f com
\frac{\partial f}{\partial x}=P=y^2.
Integrando em x,
f(x,y,z)=\int y^2\,dx=xy^2+g(y,z),
onde g é função arbitrária de y e z.

Passo 4

Devemos ter
\frac{\partial f}{\partial y} =2xy+\frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=}Q=2xy+e^{3z},
daí
\frac{\partial g}{\partial y}=e^{3z} \quad\Longrightarrow\quad g(y,z)=\int e^{3z}\,dy=y\,e^{3z}+h(z),
com h função de z.

Passo 5

Por fim, impomos
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy^2+y e^{3z}+h(z)\bigr) =3y e^{3z}+h'(z) \stackrel{!}{=}R=3y e^{3z},
logo h'(z)=0 e h(z)=C constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y,z)=xy^2+y e^{3z}+C,
onde C é constante arbitrária (pode-se escolher C=0).

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