Terifique se o campo
é conservativo, em caso afirmativo determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
O conteúdo envolvido é cálculo de rotacional para campos em e construção de potencial por integração de derivadas parciais.
O conteúdo envolvido é cálculo de rotacional para campos em
Passo 2
Para checar se
é conservativo numa região simplesmente conexa (
), calculamos
.
1.
2.
3.
Logo em todo
, então
é conservativo.
1.
2.
3.
Logo
Passo 3
Como
é conservativo, existe
com
Integrando em
,
onde
é função arbitrária de
e
.
Passo 4
Devemos ter
daí
com
função de
.
Passo 5
Por fim, impomos
logo
e
constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária (pode-se escolher
).