Considere o campo G(x, y, z)=x z \cdot i+x y z \cdot j-y^{2} \cdot k. Existe campo F tal que \operatorname{rot} F=G ?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
G(x,y,z)=x z\,\mathbf{i}+x y z\,\mathbf{j}-y^{2}\,\mathbf{k}
e pergunta se existe um outro campo F tal que
\operatorname{rot}F=G.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: sabemos que, em \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conexo), um campo G é imagem de \operatorname{rot} de algum F somente se
\operatorname{div}G=0,
pois sempre vale \operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.

Passo 2

Vamos calcular \operatorname{div}G. Pela definição,
\operatorname{div}G =\frac{\partial}{\partial x}(x z) +\frac{\partial}{\partial y}(x y z) +\frac{\partial}{\partial z}(-y^{2}).

Passo 3

Derivando cada termo temos:
\frac{\partial}{\partial x}(x z)=z, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z, \quad \frac{\partial}{\partial z}(-y^{2})=0.
Logo,
\operatorname{div}G=z + xz + 0 =z(1+x).

Passo 4

Como \operatorname{div}G=z(1+x) não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3}, isso viola a condição necessária \operatorname{div}G=0 para que exista F com \operatorname{rot}F=G.

Resposta

Não existe campo F tal que \operatorname{rot}F=G, pois \operatorname{div}G=z(1+x)\neq0.

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