Calcule as integrais de superfície 
  onde 
  é o gráfico da função 
  dada por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície 
 , onde 
  é o gráfico da função 
 , com 
  variando de 0 a 1 e 
  de 0 a 
 . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar a fórmula para integrar sobre superfícies definidas por funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função ao longo de uma superfície no espaço tridimensional. No nosso caso, a superfície 
  é o gráfico da função 
 .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, 
  é a região no plano 
  sobre a qual a superfície está definida, e 
  é a função que vamos integrar.
Passo 4
Vamos identificar cada parte:
- Nossa função 
é .  - A função que define a superfície é 
.  - As derivadas parciais são:
 - 
 
Passo 5
Substituindo na fórmula da integral de superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Perceba que 
 , então simplificamos para:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a área da região 
 . Sabemos que 
  varia de 0 a 1 e 
  de 0 a 
 . Então, a área é:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos:
Resposta
O valor da integral de superfície é 
 .