Seja
 
Determine 
  e 
  para que 
  seja contínua e derivável no ponto 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de 
 . O objetivo aqui é encontrar os valores de 
  e 
  que fazem essa função ser contínua e derivável no ponto 
 . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente sobre continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em 
 . Para isso, o limite quando 
  se aproxima de 1 pela esquerda (
 ) deve ser igual ao limite quando 
  se aproxima de 1 pela direita (
 ), e ambos devem ser iguais ao valor da função em 
 .
A parte da função para 
  é 
 . Vamos calcular 
 :
Agora, a parte da função para 
  é 
 . O limite quando 
  se aproxima de 1 pela direita é:
Para a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em 
 . Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em 
 .
Primeiro, derivamos 
  para 
 :
Então,
Agora, derivamos 
  para 
 :
Para que seja derivável:
Passo 4
Sabemos que 
 . Vamos usar essa informação na equação da continuidade que encontramos no Passo 2:
Resposta
Os valores são 
  e 
 .