Calcule as integrais de superfície
para:
e
superfície do sólido delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
;
Passo 1
O exercício pede para calcular o fluxo ∬ₛ F·dS de um campo vetorial F através da superfície fechada que envolve o sólido limitado pelo paraboloide z = x² + y² e pelo plano z = 4. O conteúdo é fluxo de campo vetorial em superfície fechada e vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss).
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência temos
onde V é o volume interno à superfície S.
Passo 3
Calculemos a divergência de F(x,y,z) = (x, -y, z):
Passo 4
O volume V é dado por 0 ≤ z ≤ 4 e z ≥ x² + y², o que em coordenadas cilíndricas vira 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2 e r² ≤ z ≤ 4. Assim
Passo 5
Execute a integral:
Resposta
8\pi