Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S para:
F(x, y, z)=(x,-y, z) e S superfície do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4;

Passo 1

O exercício pede para calcular o fluxo ∬ₛ F·dS de um campo vetorial F através da superfície fechada que envolve o sólido limitado pelo paraboloide z = x² + y² e pelo plano z = 4. O conteúdo é fluxo de campo vetorial em superfície fechada e vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência temos
∬S F cdot dS = ∭V nabla cdot F , dV,
onde V é o volume interno à superfície S.

Passo 3

Calculemos a divergência de F(x,y,z) = (x, -y, z):
nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(-y) + partialpartial z(z) = 1 - 1 + 1 = 1

Passo 4

O volume V é dado por 0 ≤ z ≤ 4 e z ≥ x² + y², o que em coordenadas cilíndricas vira 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2 e r² ≤ z ≤ 4. Assim
∭V 1 , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Execute a integral:
integral0^2pi dtheta integral0^2 l(4 - r^2r) r , dr = 2pi integral0^2 (4r - r^3) , dr = 2pi l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = 2pi (8 - 4) = 8pi

Resposta

8\pi

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