Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S para:
campo F(x, y, z)=x z e^y i-x z e^y j+z k, onde a superfície S é a parte do plano x+y+z=1 restrito ao primeiro octante, com orientação para baixo;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS Fcdot dS onde F(x,y,z)= xz e^y,i - xz e^y,j + z,k, e S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, orientada para baixo. O conteúdo envolvido é parametrização de superfície, cálculo de vetor normal com orientação definida e integração dupla.

Passo 2

Parametrizamos S usando as variáveis x,y. Como z=1-x-y, tomamos
r(x,y)=(x,,y,,1-x-y),
com a região de parâmetro
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1

Passo 3

Derivamos
rx=(1,0,-1) e ry=(0,1,-1). O vetor normal não unitário é
rxtimes ry=(1,1,1)
Esse vetor aponta para cima ( +z). Como a orientação é para baixo, usamos o vetor -(1,1,1). Assim
Fcdot dS = Fcdotl(-,( rxtimes ry)r),dA = -Fcdot(1,1,1),dA

Passo 4

Substituímos z=1-x-y em F:
F=(x(1-x-y)e^y,,-x(1-x-y)e^y,,1-x-y)
Logo
Fcdot(1,1,1)=x(1-x-y)e^y - x(1-x-y)e^y + (1-x-y)=1-x-y
Portanto o integrando fica
Fcdot dS = -(1-x-y),dA

Passo 5

Falta só computar
integral duplaSFcdot dS = -integral duplaD(1-x-y),dA
Como D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1), temos
integral duplaD(1-x-y),dA = 16
Logo a integral de superfície vale
integral duplaSFcdot dS = -16

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