Calcule as integrais de superfície
para:
campo
, onde a superfície
é a parte do plano
restrito ao primeiro octante, com orientação para baixo;
campo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
, e
é a parte do plano
no primeiro octante, orientada para baixo. O conteúdo envolvido é parametrização de superfície, cálculo de vetor normal com orientação definida e integração dupla.
Passo 2
Parametrizamos
usando as variáveis
. Como
, tomamos
com a região de parâmetro
Passo 3
Derivamos
e
. O vetor normal não unitário é
Esse vetor aponta para cima (
). Como a orientação é para baixo, usamos o vetor
. Assim
Passo 4
Substituímos
em
:
Logo
Portanto o integrando fica
Passo 5
Falta só computar
Como
é o triângulo de vértices
,
,
, temos
Logo a integral de superfície vale