Considere a função y(x, z)=e^x cos z. Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao seu gráfico no ponto ( x0, y0, z0 ) = (1, e, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e a reta normal ao gráfico da função $ y(x, z) = e^{x} \cos z $ no ponto $ (1, e, 0) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e conhecimentos sobre planos tangentes e retas normais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ y $ em relação a $ x $ e a $ z $. As derivadas parciais nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente na direção de cada variável.
A derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $ é:
y
E a derivada parcial de $ y $ em relação a $ z $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado $ (1, e, 0) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ z = 0 $ nas derivadas:
(1, e, 0)
x = 1

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma função $ y = f(x, z) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
y = f(x, z)
Substituindo os valores que encontramos:
(x0, y0, z0)
Simplificando:
y - y0 = partial ypartial x(x0, z0) (x - x0) + partial ypartial z(x0, z0) (z - z0)
y - e = e (x - 1) + 0 (z - 0)

Passo 5

Para encontrar a reta normal ao gráfico no ponto $ (1, e, 0) $, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais:
(1, e, 0)
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto dado e segue na direção do vetor normal. Então:
n = ( partial ypartial x, -1, partial ypartial z ) = (e, -1, 0)
Simplificando:
x = 1 + e t y = e - t z = 0 + 0 cdot t

Resposta

Plano tangente: $ y = e x $
Reta normal:
y = e x

Exercícios relacionados