Considere a função
. Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao seu gráfico no ponto (
) =
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e a reta normal ao gráfico da função $ y(x, z) = e^{x} \cos z $ no ponto $ (1, e, 0) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e conhecimentos sobre planos tangentes e retas normais em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ y $ em relação a $ x $ e a $ z $. As derivadas parciais nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente na direção de cada variável.
A derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ y $ em relação a $ z $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado $ (1, e, 0) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ z = 0 $ nas derivadas:
Passo 4
Com as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma função $ y = f(x, z) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar a reta normal ao gráfico no ponto $ (1, e, 0) $, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto dado e segue na direção do vetor normal. Então:
Simplificando:
Resposta
Plano tangente: $ y = e x $
Reta normal: