Calcule as equações da reta tangente e do plano normal à curva alpha(t)=t i-t^2 j-t^3 k, no ponto alpha(-1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e o plano normal à curva alpha(t)=t,i-t^2,j-t^3,k no ponto t=-1. O conteúdo que vamos usar é: cálculo da derivada para obter o vetor tangente, fórmula paramétrica da reta tangente e equação do plano com normal dado pelo vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, achamos o ponto na curva em t=-1:
alpha(-1)=(-1,,-(-1)^2,,-(-1)^3)=(-1,-1,1)

Passo 3

Agora, calculamos a derivada para obter o vetor tangente:
alpha,'(t)=ddt(t,,-t^2,,-t^3)=(1,,-2t,,-3t^2)
Em seguida, avaliamos em t=-1:
alpha,'(-1)=(1,2,-3)

Passo 4

Com o ponto (-1,-1,1) e o vetor tangente (1,2,-3), a reta tangente em forma paramétrica fica:
vec r(s)=(-1,-1,1)+s,(1,2,-3)

Passo 5

Para o plano normal, usamos como vetor normal o mesmo vetor tangente (1,2,-3). A equação do plano que passa por (-1,-1,1) com normal (1,2,-3) é:
1,(x+1)+2,(y+1)-3,(z-1)=0,
que simplifica para
x+2y-3z+6=0

Resposta

Reta tangente:
vec r(s)=(-1,-1,1)+s,(1,2,-3)
Plano normal:
x+2y-3z+6=0

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