Encontre as curvas de nível Sc(f), c in R, da seguinte função f(x, y)^2+2 x-3 y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as curvas de nível $ S_{c}(f) $ da função definida por $ f(x, y)^2 + 2x - 3y = 1 $. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como isolamos $ f(x, y) $ nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ c $. Ou seja, para cada valor de $ c $, temos uma curva onde $ f(x, y) = c $.

Passo 3

Agora, vamos isolar $ f(x, y) $ na equação dada. Temos:
f(x, y)
Subtraindo $ 2x - 3y $ de ambos os lados:
f(x, y)^2 + 2x - 3y = 1

Passo 4

Para encontrar $ f(x, y) $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que uma função quadrática pode ter duas soluções, positiva e negativa:
f(x, y)

Passo 5

Agora, para encontrar as curvas de nível $ S_{c}(f) $, definimos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante real. Então:
Sc(f)
Para simplificar, vamos considerar apenas a parte positiva (o processo é semelhante para a negativa):
f(x, y) = c
Elevando ambos os lados ao quadrado:
c

Passo 6

Agora, vamos isolar $ y $ para deixar a equação na forma de uma reta:
y
Dividindo ambos os lados por 3:
3y = c^2 + 2x - 1

Resposta

As curvas de nível são retas da forma $ y = \frac{2}{3}x + \frac{c^{2} - 1}{3} $, onde $ c $ é uma constante real.

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