Encontre as curvas de nível
, da seguinte função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as curvas de nível $ S_{c}(f) $ da função definida por $ f(x, y)^2 + 2x - 3y = 1 $. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como isolamos $ f(x, y) $ nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ c $. Ou seja, para cada valor de $ c $, temos uma curva onde $ f(x, y) = c $.
Passo 3
Agora, vamos isolar $ f(x, y) $ na equação dada. Temos:
Subtraindo $ 2x - 3y $ de ambos os lados:
Passo 4
Para encontrar $ f(x, y) $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que uma função quadrática pode ter duas soluções, positiva e negativa:
Passo 5
Agora, para encontrar as curvas de nível $ S_{c}(f) $, definimos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante real. Então:
Para simplificar, vamos considerar apenas a parte positiva (o processo é semelhante para a negativa):
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ y $ para deixar a equação na forma de uma reta:
Dividindo ambos os lados por 3:
Resposta
As curvas de nível são retas da forma $ y = \frac{2}{3}x + \frac{c^{2} - 1}{3} $, onde $ c $ é uma constante real.