Calcule as integrais de superfícies abaixo.
(a) integral duplaZ=0 z^2 d S, S é a porção do cilindro x^2+y^2=4, compreendida entre os planos
(b) integral duplaS x d S, S é a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante.
© integral duplaS x^2 d S, S é a porção do plano z=x, interna ao cilindro x^2+y^2=1.
(d) integral duplaS x^2 d S, S é porção do cone x^2+y^2=z^2, 1 <= z <= 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular quatro integrais de superfície de superfícies dadas por cilindro, plano e cone. O conteúdo aqui é integral de superfície, e vamos precisar parametrizar cada superfície e usar a fórmula dS=|rutimes rv|,du,dv para montar a integral.

Passo 2

No item (a) falta informação sobre o plano superior que limita o cilindro x^2+y^2=4 (só foi dado z=0); sem o valor da outra face em z não há como estabelecer os limites de integração, logo não é possível resolver.

Passo 3

Para o item (b) estamos integrando x sobre a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante. Parametrizamos por r(x,y)=(x,y,1-x-y), com domínio D=(x,y):x>=0,,y>=0,,x+y<=1. Calculamos
r_x=(1,0,-1),\quad r_y=(0,1,-1)
e obtivemos
|rxtimes ry|=raiz3,
logo
integral duplaS x,dS=raiz3integral duplaD x,dx,dy=raiz3integral0^1integral0^1-xx,dy,dx=raiz3integral0^1 x(1-x),dx=raiz36

Passo 4

No item © a superfície é o plano z=x sobre o disco x^2+y^2<=1. Parametrizamos por r(x,y)=(x,y,x). Calculamos
r_x=(1,0,1),\quad r_y=(0,1,0)
e
|rxtimes ry|=raiz2,
então
integral duplaS x^2,dS=raiz2integral duplax^2+y^2<=1x^2,dA

Passo 5

Em coordenadas polares x=rcostheta, dA=r,dr,dtheta e
integral duplaS x^2,dS=raiz2integral0^2piintegral0^1(rcostheta)^2,r,dr,dtheta=raiz2l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^3,drr)=piraiz24

Passo 6

No item (d) temos o cone x^2+y^2=z^2 com 1<= z<=2. Parametrizamos em coordenadas cilíndricas como r(theta,z)=(zcostheta,zsintheta,z). Calculamos
r_\theta=(-z\sin\theta,z\cos\theta,0),\quad r_z=(\cos\theta,\sin\theta,1)
e
|rthetatimes rz|=zraiz2

Passo 7

Então
integral duplaS x^2,dS=integral1^2integral0^2pi(zcostheta)^2,(zraiz2),dtheta,dz=raiz2integral1^2z^3,dzintegral0^2picos^2theta,dtheta=15piraiz24

Resposta

a) Não dá para resolver (falta o plano superior). b) raiz36. c) piraiz24. d) 15piraiz24.

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