Calcule as integrais de superfícies abaixo.
(a)
é a porção do cilindro
, compreendida entre os planos
(b)
,
é a porção do plano
no primeiro octante.
©
,
é a porção do plano
, interna ao cilindro
.
(d)
é porção do cone
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede calcular quatro integrais de superfície de superfícies dadas por cilindro, plano e cone. O conteúdo aqui é integral de superfície, e vamos precisar parametrizar cada superfície e usar a fórmula
para montar a integral.
Passo 2
No item (a) falta informação sobre o plano superior que limita o cilindro
(só foi dado
); sem o valor da outra face em
não há como estabelecer os limites de integração, logo não é possível resolver.
Passo 3
Para o item (b) estamos integrando
sobre a porção do plano
no primeiro octante. Parametrizamos por
, com domínio
. Calculamos
r_x=(1,0,-1),\quad r_y=(0,1,-1)
e obtivemos
r_x=(1,0,-1),\quad r_y=(0,1,-1)
e obtivemos
logo
Passo 4
No item © a superfície é o plano
sobre o disco
. Parametrizamos por
. Calculamos
r_x=(1,0,1),\quad r_y=(0,1,0)
e
r_x=(1,0,1),\quad r_y=(0,1,0)
e
então
Passo 5
Em coordenadas polares
,
e
Passo 6
No item (d) temos o cone
com
. Parametrizamos em coordenadas cilíndricas como
. Calculamos
r_\theta=(-z\sin\theta,z\cos\theta,0),\quad r_z=(\cos\theta,\sin\theta,1)
e
r_\theta=(-z\sin\theta,z\cos\theta,0),\quad r_z=(\cos\theta,\sin\theta,1)
e
Passo 7
Então
Resposta
a) Não dá para resolver (falta o plano superior). b)
. c)
. d)
.