Suponha que o hemisfério S: x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0, seja uniforme, isto é, tenha densidade constante. Calcule o centro de massa e o momento de inércia Iz do hemisfério S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um hemisfério definido pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} $ com $ z \geq 0 $, ou seja, a parte de cima da esfera. Esse hemisfério é uniforme, o que significa que sua densidade é constante por todo o volume. Nosso objetivo aqui é encontrar o centro de massa desse hemisfério e também calcular o momento de inércia em relação ao eixo z, que vamos chamar de $ I_{z} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o centro de massa. É como se fosse o “equilíbrio” da massa do objeto. Para encontrar as coordenadas do centro de massa (x, y, z), a gente precisa calcular as integrais sobre todo o volume do hemisfério.
Como o hemisfério é simétrico em relação aos eixos x e y, podemos já adiantar que x = 0 e y = 0, pois para cada ponto com uma coordenada x ou y positiva, tem um ponto com o valor negativo, equilibrando a massa. Assim, só precisamos encontrar z.

Passo 3

Para encontrar z, usamos a fórmula:
z = 1V integralV z , dV
Aqui, $ V $ é o volume do hemisfério. O volume de uma esfera completa é $ \frac{4}{3}\pi a^{3} $, então o volume do hemisfério é:
V

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral $ \int_{V} z , dV $. Para isso, é mais fácil usar coordenadas esféricas, onde:
integralV z , dV
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
z = rho cosphi
Como estamos lidando com um hemisfério, os limites são:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
rho: 0 a a
phi: 0 a pi2

Passo 5

Substituindo na integral:
integralV z , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^a (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integralV z , dV = integral0^2pi dtheta integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi integral0^a rho^3 , drho

Passo 6

Resolvendo as integrais uma por uma:
Primeira integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Segunda integral:
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi = 12
Terceira integral:
integral0^a rho^3 , drho = a^44
Multiplicando tudo:
integralV z , dV = 2pi cdot 12 cdot a^44 = pi a^44

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula do centro de massa:
z = 1V cdot pi a^44 = 123pi a^3 cdot pi a^44 = 3a8
Então, o centro de massa é (0, 0, 3a8).

Passo 8

Agora, vamos calcular o momento de inércia $ I_{z} $ em relação ao eixo z. A fórmula para o momento de inércia em coordenadas esféricas é:
Iz
Usando coordenadas esféricas novamente, temos $ x^{2} + y^{2} = \rho^{2} \sin^{2}\phi $. Então:
Iz = integralV (x^2 + y^2) , dV
Simplificando:
x^2 + y^2 = rho^2 sin^2phi

Passo 9

Resolvendo as integrais uma por uma:
Primeira integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Segunda integral:
integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 23
Terceira integral:
integral0^a rho^4 , drho = a^55
Multiplicando tudo:
Iz = 2pi cdot 23 cdot a^55 = 4pi a^515

Resposta

O centro de massa do hemisfério está localizado no ponto (0, 0, 3a8) e o momento de inércia em relação ao eixo z é $ I_{z} = \frac{4\pi a^{5}}{15} $.

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