Se
, onde
e
, use a Regra da Cadeia para encontrar
e
quando
.
Passo 1
O exercício pede para usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de uma função composta. Aqui temos v(x,y)=x² sin y+y ^{xy} com x=s+2t e y=st. Vamos precisar das derivadas parciais de v em relação a x e y, e das derivadas de x e y em relação a s e t.
Passo 2
Para calcular as derivadas parciais de v em relação a x e y, aplicamos as regras de derivação:
Passo 3
Derivando as expressões de x e y em relação a s e t, obtemos:
,
,
e
.
Passo 4
Pela regra da cadeia:
Passo 5
Avalia-se tudo em s=0, t=1: então x=2 e y=0. Temos
e
. Além disso,
,
,
e
. Logo
e
.