Se v=x^2 sin y+y e^x y, onde x=s+2 t e y=s t, use a Regra da Cadeia para encontrar partial v / partial s e partial v / partial t quando s=0 e t=1.

Passo 1

O exercício pede para usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de uma função composta. Aqui temos v(x,y)=x² sin y+y ^{xy} com x=s+2t e y=st. Vamos precisar das derivadas parciais de v em relação a x e y, e das derivadas de x e y em relação a s e t.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais de v em relação a x e y, aplicamos as regras de derivação:
partial vpartial x=partialpartial x(x^2sin y)+partialpartial x(y e^xy)=2xsin y+y^2e^xy
partial vpartial y=partialpartial y(x^2sin y)+partialpartial y(y e^xy)=x^2cos y+e^xy+xye^xy=x^2cos y+e^xy(1+xy)

Passo 3

Derivando as expressões de x e y em relação a s e t, obtemos: partial x/partial s=1, partial x/partial t=2, partial y/partial s=t e partial y/partial t=s.

Passo 4

Pela regra da cadeia:
partial vpartial s=partial vpartial xpartial xpartial s+partial vpartial ypartial ypartial s,partial vpartial t=partial vpartial xpartial xpartial t+partial vpartial ypartial ypartial t

Passo 5

Avalia-se tudo em s=0, t=1: então x=2 e y=0. Temos partial vpartial x(2,0)=0 e partial vpartial y(2,0)=5. Além disso, partial x/partial s=1, partial y/partial s=1, partial x/partial t=2 e partial y/partial t=0. Logo partial v/partial s=0cdot1+5cdot1=5 e partial v/partial t=0cdot2+5cdot0=0.

Resposta

partial vpartial s(0,1)=5, partial vpartial t(0,1)=0

Exercícios relacionados