Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{0}^{x^{2}} \operatorname{sen}\left(e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por integral
f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
e pede calcular o que a expressão solicita: interpretar aqui como calcular a derivada de f em relação a x, ou seja, f'(x). Informações relevantes:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}\bigr).
  • O limite inferior é constante 0.
  • O limite superior é a função de x: x^{2}.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte útil aqui): se G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt e g é contínua em torno de u, então
G'(u)=g(u).
Explicando de forma bem direta: a derivada da integral cujo limite superior é a própria variável é igual ao valor do integrando nesse limite. Aqui é importante que t é só a variável que está sendo “somada” na integral; u é o ponto onde avaliamos a função acumulada.

Passo 3

Extensão para limite superior que é função de x: se F(x)=\int_{a}^{u(x)} g(t)\,dt, aplicando a regra da cadeia temos
F'(x)=g\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
desde que g seja contínua e u diferenciável. Em palavras: primeiro aplica-se o Teorema Fundamental do Cálculo para ver que a derivada em relação ao limite é g avaliado nesse limite; depois multiplica-se pela derivada do próprio limite (regra da cadeia).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: defina
G(u)=\int_{0}^{u}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}\bigr)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para todo u,
G'(u)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{u}\bigr),
porque a função t\mapsto\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}\bigr) é contínua em todo \mathbb{R} (composição de funções contínuas).

Passo 5

Temos f(x)=G\bigl(x^{2}\bigr). Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=G'\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(x^{2}\bigr)'.
Substituindo G' e derivando x^{2},
f'(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\cdot 2x.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a derivada faz sentido para todo x porque \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr) é uma função bem definida e contínua, e 2x é a derivada de x^{2}. Portanto a fórmula é válida para todo x.

Resposta

f'(x)=2x\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr)

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