Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por integral
e pede calcular o que a expressão solicita: interpretar aqui como calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - O limite inferior é constante
. - O limite superior é a função de
: .
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte útil aqui): se
e
é contínua em torno de
, então
Explicando de forma bem direta: a derivada da integral cujo limite superior é a própria variável é igual ao valor do integrando nesse limite. Aqui é importante que
é só a variável que está sendo “somada” na integral;
é o ponto onde avaliamos a função acumulada.
Passo 3
Extensão para limite superior que é função de
: se
, aplicando a regra da cadeia temos
desde que
seja contínua e
diferenciável. Em palavras: primeiro aplica-se o Teorema Fundamental do Cálculo para ver que a derivada em relação ao limite é
avaliado nesse limite; depois multiplica-se pela derivada do próprio limite (regra da cadeia).
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para todo
,
porque a função
é contínua em todo
(composição de funções contínuas).
Passo 5
Temos
. Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
e derivando
,
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: a derivada faz sentido para todo
porque
é uma função bem definida e contínua, e
é a derivada de
. Portanto a fórmula é válida para todo
.