Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá uma função definida por integral com limites que dependem de
:
A tarefa implícita é calcular a derivada de
, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O limite inferior da integral é
. - O limite superior da integral é
.
Passo 2
Lembrete (Teorema Fundamental do Cálculo combinado com regra da cadeia). Se
é uma primitiva de
, isto é,
, então, para funções
e
,
Derivando ambos os lados e usando a regra da cadeia obtemos a fórmula prática
Interpretação intuitiva: um pequeno aumento em
muda a área adicionando a contribuição perto de
(proporcional a
vezes quanto
mudou) e subtraindo a contribuição perto de
.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso caso: aqui
,
e
. Seguindo a fórmula,
Passo 4
Substituindo
,
e
explicitamente:
Passo 5
Calculemos as derivadas simples que aparecem:
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
Passo 6
Organizando e, se quiser, fatorando um sinal negativo:
Pronto — essa é a derivada procurada. Uma forma alternativa, apenas reagrupando termos, é
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
, então pela mesma receita
. Repare que se o limite superior é uma função de
aplicamos a integranda no limite e multiplicamos pela derivada desse limite — mesmo raciocínio que usamos acima.