Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{\operatorname{sen}(x)}^{\cos (x)} \cos (t) e^{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado nos dá uma função definida por integral com limites que dependem de x:
f(x)=\int_{\operatorname{sen}(x)}^{\cos(x)} \cos(t)\, e^{t^{2}} \, dt.
A tarefa implícita é calcular a derivada de f, ou seja, encontrar f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é g(t)=\cos(t)\, e^{t^{2}}.
  • O limite inferior da integral é a(x)=\operatorname{sen}(x).
  • O limite superior da integral é b(x)=\cos(x).

Passo 2

Lembrete (Teorema Fundamental do Cálculo combinado com regra da cadeia). Se G é uma primitiva de g, isto é, G'(t)=g(t), então, para funções a(x) e b(x),
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt = G(b(x)) - G(a(x)).
Derivando ambos os lados e usando a regra da cadeia obtemos a fórmula prática
F'(x)=g(b(x))\,b'(x) - g(a(x))\,a'(x).
Interpretação intuitiva: um pequeno aumento em x muda a área adicionando a contribuição perto de b(x) (proporcional a g(b(x)) vezes quanto b mudou) e subtraindo a contribuição perto de a(x).

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso caso: aqui g(t)=\cos(t)\,e^{t^{2}}, a(x)=\operatorname{sen}(x) e b(x)=\cos(x). Seguindo a fórmula,
f'(x)=g\big(b(x)\big)\,b'(x) - g\big(a(x)\big)\,a'(x).

Passo 4

Substituindo g, a(x) e b(x) explicitamente:
f'(x)=\cos\big(\cos(x)\big)\,e^{\cos^{2}(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big) - \cos\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big).

Passo 5

Calculemos as derivadas simples que aparecem:
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big) = -\sin(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big) = \cos(x).
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
f'(x)=\cos\big(\cos(x)\big)\,e^{\cos^{2}(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big) - \cos\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}\cdot\cos(x).

Passo 6

Organizando e, se quiser, fatorando um sinal negativo:
f'(x)=-\sin(x)\,\cos\big(\cos(x)\big)\,e^{\cos^{2}(x)}-\cos(x)\,\cos\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Pronto — essa é a derivada procurada. Uma forma alternativa, apenas reagrupando termos, é
f'(x)=-\Big(\sin(x)\,\cos\big(\cos(x)\big)\,e^{\cos^{2}(x)}+\cos(x)\,\cos\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}\Big).

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar a ideia: se h(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin(t)\,dt, então pela mesma receita h'(x)=\sin(x^{2})\cdot 2x. Repare que se o limite superior é uma função de x aplicamos a integranda no limite e multiplicamos pela derivada desse limite — mesmo raciocínio que usamos acima.

Resposta

f'(x)=-\sin(x)\,\cos\big(\cos(x)\big)\,e^{\cos^{2}(x)}-\cos(x)\,\cos\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

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