Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral2-raiz4-x^2-y^2^2+raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^32 d z d y d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla
integral-2^2!integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2!integral2-raiz4-x^2-y^2^2+raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3/2,dz,dy,dx
usando coordenadas esféricas. O conteúdo principal envolve mudança de variáveis em integrais triplas, simplificação do integrando em função de rho e uso do jacobiano rho^2sinvarphi.

Passo 2

A região de integração é dada por
x^2+y^2<=4, 2-raiz4-(x^2+y^2)<= z<=2+raiz4-(x^2+y^2), \nque é exatamente a esfera de raio 2 centrada em (0,0,2), pois
x^2+y^2+(z-2)^2<=4

Passo 3

Em coordenadas esféricas (origem em (0,0,0)), temos x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta e z=rhocosvarphi. A equação da esfera fica
rho^2sin^2varphi+(rhocosvarphi-2)^2=4 $$
\Rightarrow\rho^{2}-4\rho\cos\varphi=0
$$ Rightarrowrho^2-4rhocosvarphi=0
Como Rightarrowrho=0ourho=4cosvarphi no domínio, z>=0 e cosvarphi>=0. Logo,
varphiin[0,tfracpi2]

Passo 4

O integrando é
(x^2+y^2+z^2)^3/2=(rho^2)^3/2=rho^3
e o jacobiano é rho^2sinvarphi, então a integral vira
I=integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^4cosvarphirho^3cdotrho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta =integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^4cosvarphirho^5sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 5

Calculando em rho:
integral0^4cosvarphirho^5drho=(4cosvarphi)^66=4096cos^6varphi6=20483cos^6varphi
Então
I=20483integral0^2pidthetaintegral0^pi/2cos^6varphisinvarphi,dvarphi =4096pi3integral0^pi/2cos^6varphisinvarphi,dvarphi =4096pi3cdot17

Resposta

4096pi21

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