Qual a derivada da função abaixo?
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
onde
e
O conteúdo principal é a regra do quociente e as derivadas das funções
, seno, cotangente, cossecante e cosseno. Precisamos também usar a cadeia para os argumentos divididos por constantes.
Passo 2
Vamos achar primeiro as derivadas parciais de
e
:
Para ,
Para
que simplifica para
Para
,
que dá
Passo 3
Agora aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
temos
Passo 4
Essa expressão já é a derivada de
. Se for necessário, pode-se multiplicar e rearranjar, mas normalmente basta apresentar nessa forma com a regra do quociente.
Resposta
g’(x)=\frac{\bigl(\tfrac{5}{3}x^{2/3}-3\cos(\tfrac x2)-2\csc^2(\tfrac x4)\bigr)\bigl(\csc x-15\cos(\tfrac x5)\bigr)-\bigl(x^{5/3}-6\sin(\tfrac x2)+8\cot(\tfrac x4)\bigr)\bigl(-\csc x\cot x+3\sin(\tfrac x5)\bigr)}{\bigl(\csc x-15\cos(\tfrac x5)\bigr)^2}