Qual a derivada da função abaixo?
g(x)=raiz[3]x^5-6 sen(x2)+8 cotg(x4)cossec(x)-15 cos (x5)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=u(x)v(x),
onde
u(x)=raiz[3]x^5-6sinl(tfrac x2r)+8cotl(tfrac x4r)
e
v(x)=csc(x)-15cosl(tfrac x5r)
O conteúdo principal é a regra do quociente e as derivadas das funções x^5/3, seno, cotangente, cossecante e cosseno. Precisamos também usar a cadeia para os argumentos divididos por constantes.

Passo 2

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de u e v:
Para u(x)=x^5/3-6sin(x/2)+8cot(x/4),
u'(x)=53x^2/3-6cdotcosl(tfrac x2r)cdottfrac12+8cdotl(-csc^2(tfrac x4)r)cdottfrac14
que simplifica para
u'(x)=53x^2/3-3cosl(tfrac x2r)-2csc^2l(tfrac x4r)
Para v(x)=csc(x)-15cos(x/5),
v'(x)=-csc(x)cot(x)-15cdotl(-sin(x/5)r)cdottfrac15
que dá
v'(x)=-csc(x)cot(x)+3sinl(tfrac x5r)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u,;u',;v,;v' temos
g'(x)=l(tfrac53x^2/3-3cos(tfrac x2)-2csc^2(tfrac x4)r)l(csc x-15cos(tfrac x5)r) -l(x^5/3-6sin(tfrac x2)+8cot(tfrac x4)r)l(-csc xcot x+3sin(tfrac x5)r)l(csc x-15cos(tfrac x5)r)^2

Passo 4

Essa expressão já é a derivada de g(x). Se for necessário, pode-se multiplicar e rearranjar, mas normalmente basta apresentar nessa forma com a regra do quociente.

Resposta

g’(x)=\frac{\bigl(\tfrac{5}{3}x^{2/3}-3\cos(\tfrac x2)-2\csc^2(\tfrac x4)\bigr)\bigl(\csc x-15\cos(\tfrac x5)\bigr)-\bigl(x^{5/3}-6\sin(\tfrac x2)+8\cot(\tfrac x4)\bigr)\bigl(-\csc x\cot x+3\sin(\tfrac x5)\bigr)}{\bigl(\csc x-15\cos(\tfrac x5)\bigr)^2}

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