Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
d xd t+alpha lambda x=0
Determinar a solução geral para x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem que é assim:
dxdt + alpha lambda x = 0
Nossa missão aqui é encontrar uma função $ x(t) $ que resolve essa equação. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma:
dxdt + P(t) x = Q(t)
No nosso caso, $ P(t) = \alpha \lambda $ e $ Q(t) = 0 $. Como $ Q(t) = 0 $, isso simplifica um pouco as coisas, mas vamos seguir o método mesmo assim.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = \alpha \lambda $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar mais facilmente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) x $. ou seja:
mu(t) x
Isso significa que a derivada desse produto é zero, o que nos indica que o próprio produto é constante.

Passo 6

Então, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt ( e^alpha lambda t x ) dt = integral 0 , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Para isolar $ x(t) $, dividimos ambos os lados por $ e^{\alpha \lambda t} $:
x(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C e^-alpha lambda t
onde $ C $ é uma constante real.

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