Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
Determinar a solução geral para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem que é assim:
Nossa missão aqui é encontrar uma função $ x(t) $ que resolve essa equação. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma:
No nosso caso, $ P(t) = \alpha \lambda $ e $ Q(t) = 0 $. Como $ Q(t) = 0 $, isso simplifica um pouco as coisas, mas vamos seguir o método mesmo assim.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) = \alpha \lambda $:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar mais facilmente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) x $. ou seja:
Isso significa que a derivada desse produto é zero, o que nos indica que o próprio produto é constante.
Passo 6
Então, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Para isolar $ x(t) $, dividimos ambos os lados por $ e^{\alpha \lambda t} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante real.