Qual a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \tan(x) $ no ponto onde a abscissa é $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar o valor de $ f(x) $ no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Isso significa substituir $ x_0 $ na função:
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Então, o ponto de tangência é $ \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \tan(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ \tan(x) $ é:
Onde $ \sec(x) $ é a função secante, que é o inverso do cosseno.
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Portanto:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 2 $ e o ponto de tangência $ \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1 $.