Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=tg x no ponto de abscissa x0=pi4?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \tan(x) $ no ponto onde a abscissa é $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar o valor de $ f(x) $ no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Isso significa substituir $ x_0 $ na função:
f(x)
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Então, o ponto de tangência é $ \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \tan(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ \tan(x) $ é:
f(x) = tan(x)
Onde $ \sec(x) $ é a função secante, que é o inverso do cosseno.

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $:
x0 = pi4
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
f'(pi4) = sec^2(pi4)
Portanto:
cos(pi4) = raiz22
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 2 $ e o ponto de tangência $ \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
m = 2
Substituindo os valores:
(pi4, 1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
y = mx + b
y - 1 = 2x - pi2

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1 $.

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