Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar
tal que . - Não há condições adicionais (constante de integração
será incluída no final).
Passo 2
Plano de ataque (explicação didática e motivo): como os expoentes de
e
são pares, a abordagem mais prática é usar identidades de redução de potência (fórmulas do ângulo duplo) para transformar potências em somas de cossenos de múltiplos ângulos — isso transforma a integral em somas de termos do tipo
, fáceis de integrar. Vou recordar e justificar as fórmulas que vou usar.
Fórmulas que vêm do ângulo duplo:
Dessas iguais derivam as fórmulas de redução:
Essas são úteis porque reduzem potências pares a expressões em
.
Passo 3
Aplicar a redução às potências:
E
Multiplicando as duas expressões:
onde, para deixar a escrita mais limpa, chamei
.
Passo 4
Expandir o produto em
:
Logo
Multiplicando pelo fator
da integral original:
Portanto a integral fica
Passo 5
Agora reduzimos
e
a cossenos de múltiplos de
.
Primeiro,
Para
escrevemos
e usamos a identidade anterior:
Usando a fórmula do produto para cossenos:
obtemos
Logo
Passo 6
Substituir
e
na integral e simplificar:
Reagrupando termos:
Multiplicando pelo fator
:
Portanto estamos integrando
Passo 7
Integrar termo a termo, lembrando que
.
- Integral do termo constante:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando tudo e acrescentando a constante
, uma primitiva é
Passo 8
Verificação rápida (opcional e curta): derivando
obtém-se exatamente o integrando original (checa-se a álgebra já feita). Portanto a primitiva encontrada está correta.