Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
\int 12 \operatorname{sen}^{4} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 12\,\operatorname{sen}^{4}x\cos^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 12\sin^{4}x\cos^{2}x.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar F(x) tal que F'(x)=12\sin^{4}x\cos^{2}x.
  • Não há condições adicionais (constante de integração +C será incluída no final).

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática e motivo): como os expoentes de \sin e \cos são pares, a abordagem mais prática é usar identidades de redução de potência (fórmulas do ângulo duplo) para transformar potências em somas de cossenos de múltiplos ângulos — isso transforma a integral em somas de termos do tipo \cos(kx), fáceis de integrar. Vou recordar e justificar as fórmulas que vou usar.
Fórmulas que vêm do ângulo duplo:
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1.
Dessas iguais derivam as fórmulas de redução:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},\qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essas são úteis porque reduzem potências pares a expressões em \cos(2x).

Passo 3

Aplicar a redução às potências:
\sin^{4}x=(\sin^{2}x)^{2}=\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{2} =\frac{1-2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)}{4}.
E
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Multiplicando as duas expressões:
\sin^{4}x\cos^{2}x =\frac{1-2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)}{4}\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2} =\frac{1}{8}\bigl(1-2c+c^{2}\bigr)(1+c),
onde, para deixar a escrita mais limpa, chamei c=\cos(2x).

Passo 4

Expandir o produto em c:
(1-2c+c^{2})(1+c)=1-c-c^{2}+c^{3}.
Logo
\sin^{4}x\cos^{2}x=\frac{1}{8}\bigl(1-c-c^{2}+c^{3}\bigr).
Multiplicando pelo fator 12 da integral original:
12\sin^{4}x\cos^{2}x=\frac{12}{8}\bigl(1-c-c^{2}+c^{3}\bigr) =\frac{3}{2}\bigl(1-c-c^{2}+c^{3}\bigr).
Portanto a integral fica
\int 12\sin^{4}x\cos^{2}x\,dx =\frac{3}{2}\int\bigl(1-\cos(2x)-\cos^{2}(2x)+\cos^{3}(2x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora reduzimos \cos^{2}(2x) e \cos^{3}(2x) a cossenos de múltiplos de x.
Primeiro,
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Para \cos^{3}(2x) escrevemos \cos^{3}(2x)=\cos(2x)\cos^{2}(2x) e usamos a identidade anterior:
\cos^{3}(2x)=\cos(2x)\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2} =\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)\cos(4x).
Usando a fórmula do produto para cossenos:
\cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2},
obtemos
\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\cos(6x)+\cos(-2x)}{2}=\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}.
Logo
\cos^{3}(2x)=\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2} =\frac{3}{4}\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos(6x).

Passo 6

Substituir \cos^{2}(2x) e \cos^{3}(2x) na integral e simplificar:
1-\cos(2x)-\cos^{2}(2x)+\cos^{3}(2x) =1-\cos(2x)-\frac{1+\cos(4x)}{2}+\left(\frac{3}{4}\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos(6x)\right).
Reagrupando termos:
= \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cos(2x)-\frac{1}{2}\cos(4x)+\frac{1}{4}\cos(6x).
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}\Bigl(\cdots\Bigr) =\frac{3}{4}-\frac{3}{8}\cos(2x)-\frac{3}{4}\cos(4x)+\frac{3}{8}\cos(6x).
Portanto estamos integrando
\int\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{8}\cos(2x)-\frac{3}{4}\cos(4x)+\frac{3}{8}\cos(6x)\right)dx.

Passo 7

Integrar termo a termo, lembrando que \displaystyle\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C.
  • Integral do termo constante:
\int\frac{3}{4}\,dx=\frac{3}{4}x.
  • Para -\dfrac{3}{8}\cos(2x):
\int -\frac{3}{8}\cos(2x)\,dx=-\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=-\frac{3}{16}\sin(2x).
  • Para -\dfrac{3}{4}\cos(4x):
\int -\frac{3}{4}\cos(4x)\,dx=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)=-\frac{3}{16}\sin(4x).
  • Para \dfrac{3}{8}\cos(6x):
\int \frac{3}{8}\cos(6x)\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)=\frac{3}{48}\sin(6x)=\frac{1}{16}\sin(6x).
Somando tudo e acrescentando a constante C, uma primitiva é
F(x)=\frac{3}{4}x-\frac{3}{16}\sin(2x)-\frac{3}{16}\sin(4x)+\frac{1}{16}\sin(6x)+C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional e curta): derivando F(x) obtém-se exatamente o integrando original (checa-se a álgebra já feita). Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\frac{3}{4}x-\frac{3}{16}\sin(2x)-\frac{3}{16}\sin(4x)+\frac{1}{16}\sin(6x)+C

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