Calcule as integrais trigonométricas.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{2}(2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de redução para transformar \sin^2 em termos de cosseno.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^2(\alpha) \;=\;\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}.
Substituindo \alpha=2\theta, obtemos
\sin^2(2\theta) \;=\;\frac{1-\cos(4\theta)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(2\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(4\theta)\,d\theta.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta =\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(4\theta)\,d\theta =\left[\frac{\sin(4\theta)}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\sin(2\pi)-\sin(0)}{4} =0.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do Passo 3, obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \;-\;\frac{1}{2}\cdot 0 =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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