Calcule as integrais trigonométricas.
\int_{0}^{\pi} \cos ^{3}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral trigonométrica
\int_{0}^{\pi}\cos^{3}(t)\,dt
Para resolver, vamos usar uma fórmula de redução de potência que expressa \cos^{3}t em termos de cossenos de ângulos múltiplos de t.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\cos^{3}t = \frac{1}{4}\bigl(3\cos t + \cos(3t)\bigr).
Logo, a integral vira
\int_{0}^{\pi}\cos^{3}(t)\,dt = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\bigl(3\cos t + \cos(3t)\bigr)dt.

Passo 3

Separamos em duas integrais mais simples:
\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}3\cos t\,dt \;+\; \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\cos(3t)\,dt.
Calculamos cada uma:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi}3\cos t\,dt = 3\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi} =3\bigl(\sin\pi-\sin0\bigr)=0.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(3t)\,dt =\Bigl[\frac{1}{3}\sin(3t)\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{3}\bigl(\sin3\pi-\sin0\bigr)=0.

Passo 4

Somando as duas partes e multiplicando por \tfrac14, obtemos
\frac{1}{4}\bigl(0 + 0\bigr)=0.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\cos^{3}(t)\,dt = 0.

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