Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{2 \pi} t^{2} \operatorname{sen} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} t^{2}\sin t\,dt
e vamos usar integração por partes duas vezes para encontrar uma primitiva.

Passo 2

Fazendo a primeira integração por partes, escolhemos
u = t^{2},\quad dv = \sin t\,dt
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du = 2t\,dt,\quad v = -\cos t.
Assim,
\int t^{2}\sin t\,dt = -\,t^{2}\cos t + \int 2t\cos t\,dt.

Passo 3

Para calcular \int 2t\cos t\,dt, aplicamos integração por partes de novo com
u = 2t,\quad dv = \cos t\,dt
o que dá
du = 2\,dt,\quad v = \sin t.
Assim,
\int 2t\cos t\,dt = 2t\sin t - \int 2\sin t\,dt = 2t\sin t + 2\cos t.

Passo 4

Reunindo os resultados, uma primitiva de t^{2}\sin t é
F(t) = -\,t^{2}\cos t + 2t\sin t + 2\cos t.
Agora avaliamos de 0 a 2\pi. Como \cos(2\pi)=1, \sin(2\pi)=0 e \cos0=1, \sin0=0, temos
F(2\pi) = -4\pi^{2}\cdot1 + 0 + 2\cdot1 = -4\pi^{2} + 2,
F(0) = 0 + 0 + 2\cdot1 = 2.
Logo,
\int_{0}^{2\pi} t^{2}\sin t\,dt = F(2\pi) - F(0) = (-4\pi^{2} + 2) - 2 = -4\pi^{2}.

Resposta

-4\pi^{2}

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