( 15 pontos) Se a solução do problema
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t}^{2} u(x, t)=a^{2} \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<L, t \in \mathbb{R}) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(L, t)(t \in \mathbb{R}) \\\ u(x, 0)=f(x)(0<x<L) \\\ \partial_{t} u(x, 0)=g(x)(0<x<L) \end{array}\right.
é
u=u(x, t)(0 \leq x \leq L, t \in \mathbb{R}) dada por
u(x, t)=\frac{t}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\right]
então
\int_{0}^{L} f(x) d x \cdot \int_{0}^{L} g(x) d x=\frac{1}{2}
V () F (×)
Solução: Como informado nos “Lembretes para a P1”, a solução de
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t}^{2} u(x, t)=a^{2} \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<L, t \in \mathbb{R}) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(L, t)(t \in \mathbb{R}) \\\ u(x, 0)=f(x)(0<x<L) \\\ \partial_{t} u(x, 0)=g(x)(0<x<L) \end{array}\right.
é
u(x, t)=\frac{a_{0}}{2}+\frac{b_{0} t}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\right],
onde
0 \leq x \leq L, t \in \mathbb{R},
a_{0}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) d x \& b_{0}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} g(x) d x
e
\left\{\begin{array}{l} a_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x ; \\\ b_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{L} g(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x \end{array} \quad(n=1,2, \cdots)\right.
Enquandrando a solução
u(x, t) dada no padrão acima dos “Lembretes da P1”, obtemos
o que permite escrever
\int_{0}^{L} f(x) d x \cdot \int_{0}^{L} g(x) d x=\left(\frac{2}{L} \cdot a_{0}\right)\left(\frac{2}{L} \cdot b_{0}\right)=\left(\frac{2}{L} \cdot 0\right)\left(\frac{2}{L} \cdot 1\right)=0 \neq \frac{1}{2} .
Portanto a afirmação é Falsa.