Calcule as integrais a seguir fazendo primeiro uma substituição de variaveis e depois usando a integração por partes.
\int r e^{r^{2}} d r

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular
\int r\,e^{r^{2}}\,dr
Usaremos o conteúdo de mudança de variável (substituição simples).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = r^{2},
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du = 2\,r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = \tfrac12\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int r\,e^{r^{2}}\,dr = \int e^{u}\,\bigl(\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12\int e^{u}\,du.
Integrando por substituição direta (sem necessidade de partes nesta etapa), obtemos
\tfrac12\int e^{u}\,du = \tfrac12\,e^{u}+C.

Passo 4

Voltando à variável original r:
\tfrac12\,e^{u}+C = \tfrac12\,e^{r^{2}}+C.

Resposta

\int r\,e^{r^{2}}\,dr = \tfrac12\,e^{r^{2}}+C.

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