Calcule as integrais trigonométricas:
integral0^pi / 2 sec ^4(u2) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
I = integral0^pi/2 sec^4!l(tfracu2r),du
Aqui vamos usar uma mudança de variável para eliminar o fator tfrac12 no argumento da secante, depois um método padrão para potências pares de sec.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = u2, u = 2t, du = 2,dt,
e os limites transformam-se de u=0 a u=pi/2 em t=0 a t=pi/4. Logo
I = integral0^pi/2 sec^4!l(tfracu2r),du = 2 integral0^pi/4 sec^4t,dt

Passo 3

Para integrar sec^4t, escrevemos
sec^4t = sec^2t,(1+tan^2t),
e usamos a substituição x=tan t, de modo que dx=sec^2t,dt. Então
integral sec^4t,dt = integral sec^2t,(1+tan^2t),dt = integral (1 + x^2),dx

Passo 4

Calculando a integral em x:
integral (1 + x^2),dx = x + x^33 + C = tan t + tan^3t3 + C
Portanto
integral0^pi/4 sec^4t,dt = l[tan t + tfractan^3t3r]0^pi/4 = l(1 + tfrac13r) - 0 = 43

Passo 5

Voltando ao fator 2 de fora, obtemos
I = 2 times 43 = 83

Resposta

boxed83

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