Mostre que
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2
não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) xyx^2+y^2
não existe. Isso é um problema de limites de funções de duas variáveis, e vamos usar o teste de caminhos diferentes: se ao aproximar por duas curvas distintas o valor for diferente, o limite não existe.

Passo 2

O critério é: se o limite existisse e fosse igual a L, então para qualquer caminho (x,y)to(0,0) o valor da função teria de tender a L. Basta achar dois caminhos que levem a resultados diferentes para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Escolhendo o caminho y=0, temos ao aproximar (x,0)to(0,0):
xcdot 0x^2+0^2 =0x^2 =0
Logo, ao longo de y=0 o limite vale 0.

Passo 4

Agora escolhemos o caminho y=x. Substituindo y=x em xyx^2+y^2
xcdot xx^2+x^2 =x^22x^2 =12,
para xneq0. Portanto, ao longo de y=x o limite vale tfrac12.

Passo 5

Como pelas duas rotas obtivemos limites diferentes ( 0 e tfrac12), concluímos que o limite original não existe.

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0) xyx^2+y^2
não existe.

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