Calcule as integrais trigonométricas:
integral0^pi / 3 sec ^4(x) tg^5(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
integral0^pi/3sec^4(x),tan^5(x),dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais que envolvem potências de tan(x) e sec(x). Vamos usar a substituição ,u=tan(x), pois sua derivada ,du=sec^2(x),dx aparece naturalmente no integrando.

Passo 2

Separe sec^4(x) em sec^2(x)cdotsec^2(x) e agrupe uma sec^2(x),dx para usar na substituição:
sec^4(x),tan^5(x),dx =sec^2(x),tan^5(x);l(sec^2(x),dxr)
Como ,du=sec^2(x),dx, vamos trocar sec^2(x),dx por du.

Passo 3

Com u=tan(x) temos tan^5(x)=u^5 e ainda
sec^2(x)=1+tan^2(x)=1+u^2
Substituindo tudo e mudando os limites: quando x=0, u=tan(0)=0; quando x=pi/3, u=tan(pi/3)=raiz3. A integral fica
integral0^pi/3sec^4(x),tan^5(x),dx =integral0^raiz3u^5,(1+u^2),du =integral0^raiz3l(u^5+u^7r),du

Passo 4

Agora é só integrar termo a termo:
integrall(u^5+u^7r),du =u^66+u^88

Passo 5

Avalie de 0 a raiz3:
[u^66+u^88]0^raiz3 =(raiz3)^66+(raiz3)^88 =276+818 =92+818 =36+818 =1178

Resposta

1178

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