Mostre que
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2
existe.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) 3x^2yx^2+y^2
O conteúdo envolvido é limite em várias variáveis e uso de coordenadas polares ou estimativas para mostrar que a função vai a um valor único.

Passo 2

Usamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2
Então
x^2+y^2 = r^2, 3x^2y = 3r^3cos^2thetasintheta,
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3x^2yx^2+y^2 =3rcos^2thetasintheta

Passo 3

Como l|cos^2thetasinthetar|<=1, temos
|3x^2yx^2+y^2| =3r,l|cos^2thetasinthetar| <=3r
Quando (x,y)to(0,0), rto0, então pelo Teorema do Confronto o limite é 0.

Resposta

0

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