Calcule as integrais triplas abaixo.
integral triplaE(x z-y^3) d V, com E=(x, y, z) in R /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaEl(xz - y^3r),dV
sobre o paralelepípedo
E=(x,y,z)inR^3mid -1<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1
O conteúdo aqui é integrais múltiplas em domínios retangulares; vamos usar separação de variáveis e simetria.

Passo 2

Como a integral de uma soma é a soma das integrais, escrevemos
integral triplaEl(xz - y^3r),dV =integral triplaExz,dV ;-;integral triplaEy^3,dV

Passo 3

Para integral triplaExz,dV separamos as integrais em x, y e z:
integral triplaExz,dV =l(integralx=-1^1x,dxr) l(integraly=0^21,dyr) l(integralz=0^1z,dzr)
Mas integral-1^1x,dx=0 por simetria, logo
integral triplaExz,dV=0

Passo 4

Para integral triplaEy^3,dV temos igualmente separação:
integral triplaEy^3,dV =l(integralx=-1^11,dxr) l(integraly=0^2y^3,dyr) l(integralz=0^11,dzr)
Calculando cada parte:
integralx=-1^11,dx=2, integralz=0^11,dz=1, integraly=0^2y^3,dy =[y^44]0^2 =164=4
Logo
integral triplaEy^3,dV=2cdot4cdot1=8

Passo 5

Substituindo em
integral triplaE(xz - y^3),dV = 0 - 8,
obtemos o valor final da integral.

Resposta

-8

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