Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=raizx^2-4 x+3x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x),
sendo
f(x)=raizx^2-4x+3x+1
O conteúdo é limites no infinito e identificação de assíntotas horizontais. Para resolver, vamos usar a técnica de fatorar x^2 dentro da raiz como lvert xrvert^2 e simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por lvert xrvert ou por x.

Passo 2

Cálculo de limxto+inftyf(x).
Para xto+infty vale lvert xrvert = x. Então
raizx^2-4x+3 = x,raiz1-4x+3x^2
Substituindo em f(x),
f(x) =xraiz1-tfrac4x+tfrac3x^2x+1 =xraiz1-tfrac4x+tfrac3x^2xl(1+tfrac1xr) =raiz1-tfrac4x+tfrac3x^21+tfrac1x
Agora, ao fazer xto+infty, os termos tfrac4x, tfrac3x^2, tfrac1x vão a zero. Logo,
limxto+inftyf(x) =raiz1-0+01+0 =1

Passo 3

Cálculo de limxto-inftyf(x).
Para xto-infty vale lvert xrvert = -x. Então
raizx^2-4x+3 =-x,raiz1-4x+3x^2
Substituindo em f(x),
f(x) =-xraiz1-tfrac4x+tfrac3x^2x+1 =-xraiz1-tfrac4x+tfrac3x^2xl(1+tfrac1xr) =-raiz1-tfrac4x+tfrac3x^21+tfrac1x
Fazendo xto-infty, novamente tfrac4x,tfrac3x^2,tfrac1xto0. Assim,
limxto-inftyf(x) =-raiz11 =-1

Resposta

limxto+inftyf(x)=1, limxto-inftyf(x)=-1
Portanto há assíntotas horizontais
y=1em xto+infty, y=-1em xto-infty

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