Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
f(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x
nos limites xto+infty e xto-infty, e verificar se existem assíntotas horizontais. Vamos usar que, ao infinito, exponenciais de maior taxa dominam as de menor taxa.

Passo 2

Para xto+infty, dividimos numerador e denominador por e^x. Isso dá
f(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x =1 - e^-2x1 + e^-2x
Como e^-2xto0 quando xto+infty, segue
limxto+inftyf(x)=1-01+0=1

Passo 3

Para xto-infty, dividimos numerador e denominador por e^-x. Isso leva a
f(x)=e^2x-1e^2x+1
Aqui e^2xto0 quando xto-infty, logo
limxto-inftyf(x)=0-10+1=-1

Passo 4

Como os limites lateralizados no infinito existem e são finitos, as retas
y=1 e y=-1
são assíntotas horizontais de f.

Resposta

limxto+inftyf(x)=1
limxto-inftyf(x)=-1
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.

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