Determine e esboce o domínio e a imagem das funções. f(x, y, z) = raiz(1 - x^2 - y^2 - z^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e esboçar o domínio e a imagem da função . Aqui, vamos precisar entender o que é o domínio e a imagem de uma função multivariável, além de usar um pouquinho de geometria envolvendo esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de , e que fazem a função ser válida ou definida. No nosso caso, a função envolve uma raiz quadrada, então precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente:
Isso significa que:
Essa inequação representa todos os pontos cuja distância até a origem é menor ou igual a 1. Geometricamente, isso é o interior e a fronteira de uma esfera com raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos dentro e na superfície de uma esfera de raio 1. Em termos de notação, podemos escrever:
í

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como , e sabemos que varia de 0 a 1 (por causa do domínio), a raiz quadrada desses valores vai variar de:
é
Portanto, a imagem da função é o intervalo de 0 a 1.

Resposta

Domínio: Todos os pontos no espaço tridimensional que estão dentro ou na superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja:
Imagem: Todos os valores reais entre 0 e 1, inclusive:

Exercícios relacionados