Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e esboçar o domínio e a imagem da função
. Aqui, vamos precisar entender o que é o domínio e a imagem de uma função multivariável, além de usar um pouquinho de geometria envolvendo esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de
,
e
que fazem a função ser válida ou definida. No nosso caso, a função envolve uma raiz quadrada, então precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente:
Isso significa que:
Essa inequação representa todos os pontos
cuja distância até a origem é menor ou igual a 1. Geometricamente, isso é o interior e a fronteira de uma esfera com raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Então, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos dentro e na superfície de uma esfera de raio 1. Em termos de notação, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Como
, e sabemos que
varia de 0 a 1 (por causa do domínio), a raiz quadrada desses valores vai variar de:
Portanto, a imagem da função é o intervalo de 0 a 1.
Resposta
Domínio: Todos os pontos
no espaço tridimensional que estão dentro ou na superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja:
Imagem: Todos os valores reais entre 0 e 1, inclusive: