Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + 1.25 y = 5, y(0) = 6.6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial:
O conteúdo aqui envolve resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem utilizando métodos de resolução que envolvem fatores integrantes. Vamos precisar lembrar como encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial para encontrar a solução particular.

Passo 2

Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem como essa:
Usamos um fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada na equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto. O fator integrante é dado por:
Neste caso, e .

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante mu(x):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito é a integral de :
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a solução particular. Sabemos que quando x = 0, :

Resposta

A solução geral da equação é:
E a solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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