Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial:
O conteúdo aqui envolve resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem utilizando métodos de resolução que envolvem fatores integrantes. Vamos precisar lembrar como encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial para encontrar a solução particular.
Passo 2
Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem como essa:
Usamos um fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada na equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto. O fator integrante é dado por:
Neste caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito é a integral de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a solução particular. Sabemos que quando
,
:
Resposta
A solução geral da equação é:
E a solução particular que satisfaz a condição inicial
é: