Calcule as integrais triplas: \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 z} 3 x-\sqrt{1+z^{2}} d x d z d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral tripla
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 z} 3 x-\sqrt{1+z^{2}} \, d x \, d z \, d y.
Informações dadas: \;x varia de \,0 a \,2z😉 \;z varia de \,0 a \,1😉 \;y varia de \,-1 a \,2.)
O integrando é \;3x-\sqrt{1+z^{2}}\;, que depende de x e z, mas não de y.
A tarefa é calcular esse número (o valor da integral).
Passo 2
Vamos integrar primeiro em relação a x (interna). Para integrar uma expressão polinomial e uma constante em x usamos as regras básicas:
\int a x \, dx = a\frac{x^{2}}{2},\qquad \int c \, dx = c x,
onde a e c são constantes em relação a x. Aplicando essas regras ao integrando \;3x-\sqrt{1+z^{2}}\;, tratando \sqrt{1+z^{2}} como constante em relação a x, temos
Repare que a expressão dentro depende só de z, não de y. Isso significa que a integração em y apenas multiplica o valor por comprimento do intervalo de y, isto é, por 2-(-1)=3. Vamos primeiro calcular a integral em z: