Calcule as integrais triplas:
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 z} 3 x-\sqrt{1+z^{2}} d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral tripla
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 z} 3 x-\sqrt{1+z^{2}} \, d x \, d z \, d y.
Informações dadas:
\;x varia de \,0 a \,2z😉
\;z varia de \,0 a \,1😉
\;y varia de \,-1 a \,2.)
O integrando é \;3x-\sqrt{1+z^{2}}\;, que depende de x e z, mas não de y.
A tarefa é calcular esse número (o valor da integral).

Passo 2

Vamos integrar primeiro em relação a x (interna). Para integrar uma expressão polinomial e uma constante em x usamos as regras básicas:
\int a x \, dx = a\frac{x^{2}}{2},\qquad \int c \, dx = c x,
onde a e c são constantes em relação a x. Aplicando essas regras ao integrando \;3x-\sqrt{1+z^{2}}\;, tratando \sqrt{1+z^{2}} como constante em relação a x, temos
\int_{0}^{2z} \bigl(3x-\sqrt{1+z^{2}}\bigr)\,dx = \left[3\frac{x^{2}}{2}-\sqrt{1+z^{2}}\,x\right]_{0}^{2z}.

Passo 3

Agora avaliamos a expressão anterior nos limites x=0 e x=2z:
\left.3\frac{x^{2}}{2}-\sqrt{1+z^{2}}\,x\right|_{0}^{2z} = 3\frac{(2z)^{2}}{2}-\sqrt{1+z^{2}}\,(2z)-\bigl(0\bigr).
Calcule passo a passo:
(2z)^{2}=4z^{2},\qquad 3\frac{4z^{2}}{2}=3\cdot 2z^{2}=6z^{2},
logo o resultado da integral interna é
6z^{2}-2z\sqrt{1+z^{2}}.

Passo 4

Agora temos que calcular a integral dupla restante (em z e y):
\int_{-1}^{2}\int_{0}^{1}\bigl(6z^{2}-2z\sqrt{1+z^{2}}\bigr)\,dz\,dy.
Repare que a expressão dentro depende só de z, não de y. Isso significa que a integração em y apenas multiplica o valor por comprimento do intervalo de y , isto é, por 2-(-1)=3. Vamos primeiro calcular a integral em z:
\int_{0}^{1}\bigl(6z^{2}-2z\sqrt{1+z^{2}}\bigr)\,dz = \int_{0}^{1}6z^{2}\,dz \;-\; \int_{0}^{1}2z\sqrt{1+z^{2}}\,dz.

Passo 5

Calcule cada parcela separadamente:
  1. Para \int_{0}^{1}6z^{2}\,dz:
\int 6z^{2}\,dz = 6\cdot\frac{z^{3}}{3}=2z^{3},
avaliando de 0 a 1 2\cdot 1^{3}-2\cdot 0^{3}=2.
  1. Para \int_{0}^{1}2z\sqrt{1+z^{2}}\,dz usamos a substituição u=1+z^{2}. Então du=2z\,dz. Quando z=0 temos u=1; quando z=1 temos u=2. A integral vira
\int_{u=1}^{u=2} u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2} obtemos \frac{2}{3}u^{3/2}. Avaliando:
\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{2}=\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 6

Subtraindo as duas parcelas para a integral em z:
\int_{0}^{1}\bigl(6z^{2}-2z\sqrt{1+z^{2}}\bigr)\,dz = 2 \;-\; \frac{2}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).
Colocando em denominador comum 3:
2=\frac{6}{3},\qquad \frac{6}{3}-\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1) =\frac{6-2(2\sqrt{2}-1)}{3} =\frac{6-4\sqrt{2}+2}{3} =\frac{8-4\sqrt{2}}{3}.
Fatorando 4:
\frac{8-4\sqrt{2}}{3}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{3}.

Passo 7

Agora integramos em y no intervalo [-1,2]. Como o integrando é constante em y, multiplicamos por 3 (comprimento do intervalo):
\int_{-1}^{2}\left(\frac{4(2-\sqrt{2})}{3}\right)\,dy = \frac{4(2-\sqrt{2})}{3}\cdot 3 =4(2-\sqrt{2}).
Podemos também expandir:
4(2-\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}.

Resposta

4(2-\sqrt{2})

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