\iiint_{W} 9 y z^{3} d V sendo W a região entre x=-\sqrt{9 y^{2}+9 z^{2}} e x=\sqrt{y{2}+z{2}} interna ao cilindro y{2}+z{2}=1.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
onde
é a região entre as superfícies
e
, restrita ao interior do cilindro
.
Informações dadas (lista clara):
- As superfícies que limitam
são e . - A região lateral (no plano
) é o disco (o enunciado falou "interna ao cilindro "). - A função a integrar é
. - A variável
fica entre as duas superfícies para cada ponto do disco.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas com eixo ao longo de
porque as superfícies e o cilindro dependem de
. Definição das coordenadas:
com
e
. No plano
o disco
vira simplesmente
e
.
Agora escrevemos os limites de
em termos de
:
Portanto, para cada
com
temos
Passo 3
Explico o elemento de volume (Jacobian) nesta escolha: no sistema
a área no plano
é
, então o volume é
Rápida intuição: um pequeno setor radial de espessura
e ângulo
tem área aproximada
; multiplicando por
dá o volume.
Passo 4
Substituímos a função integranda em termos de
:
Logo
Multiplicando pelo jacobiano
obtemos a função a integrar no novo sistema:
Assim a integral fica
Passo 5
Integramos primeiro em
. A integranda não depende de
, então
O comprimento no eixo
é
. Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Agora separamos as integrais em
e
(produto de funções de variáveis distintas):
Calculamos cada parte.
Radial:
Angular:
Observe que é exatamente a derivada de
porque
Observe que
Então
Outra maneira intuitiva: sobre um período completo as partes positivas e negativas de
se cancelam.
Passo 7
Multiplicando as duas partes obtemos
Portanto a integral vale zero. Dá para interpretar: por simetria angular (distribuição positiva/negativa do produto
no disco), as contribuições se cancelam.
Resposta
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