\iiint_{W} 9 y z^{3} d V sendo W a região entre x=-\sqrt{9 y^{2}+9 z^{2}} e x=\sqrt{y{2}+z{2}} interna ao cilindro y{2}+z{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{W} 9\,y\,z^{3}\,dV
onde W é a região entre as superfícies x=-\sqrt{9y^{2}+9z^{2}} e x=\sqrt{y^{2}+z^{2}}, restrita ao interior do cilindro y^{2}+z^{2}=1.
Informações dadas (lista clara):
  • As superfícies que limitam x são x=-\sqrt{9y^{2}+9z^{2}} e x=\sqrt{y^{2}+z^{2}}.
  • A região lateral (no plano y\!z) é o disco y^{2}+z^{2}\le 1 (o enunciado falou "interna ao cilindro y^{2}+z^{2}=1").
  • A função a integrar é 9\,y\,z^{3}.
  • A variável x fica entre as duas superfícies para cada ponto (y,z) do disco.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas com eixo ao longo de x porque as superfícies e o cilindro dependem de y^{2}+z^{2}. Definição das coordenadas:
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). No plano y z o disco y^{2}+z^{2}\le 1 vira simplesmente 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.
Agora escrevemos os limites de x em termos de r:
\sqrt{9y^{2}+9z^{2}}=\sqrt{9r^{2}}=3r,
\sqrt{y^{2}+z^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r.
Portanto, para cada (r,\theta) com 0\le r\le 1 temos
x\in[-3r,\; r].

Passo 3

Explico o elemento de volume (Jacobian) nesta escolha: no sistema (x,r,\theta) a área no plano y z é r\,dr\,d\theta, então o volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dx.
Rápida intuição: um pequeno setor radial de espessura dr e ângulo d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta; multiplicando por dx dá o volume.

Passo 4

Substituímos a função integranda em termos de r,\theta:
y = r\cos\theta,\qquad z^{3} = (r\sin\theta)^{3} = r^{3}\sin^{3}\theta.
Logo
9\,y\,z^{3} = 9\,(r\cos\theta)\,(r^{3}\sin^{3}\theta)=9\,r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos a função a integrar no novo sistema:
9\,r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta \cdot r = 9\,r^{5}\cos\theta\sin^{3}\theta.
Assim a integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=-3r}^{r} 9\,r^{5}\cos\theta\sin^{3}\theta \; dx\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em x. A integranda não depende de x, então
\int_{x=-3r}^{r} 9\,r^{5}\cos\theta\sin^{3}\theta \; dx = 9\,r^{5}\cos\theta\sin^{3}\theta \cdot \bigl(r-(-3r)\bigr).
O comprimento no eixo x é r-(-3r)=4r. Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 9\,r^{5}\cos\theta\sin^{3}\theta \cdot 4r \; dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 36\,r^{6}\cos\theta\sin^{3}\theta \; dr\,d\theta.

Passo 6

Agora separamos as integrais em r e \theta (produto de funções de variáveis distintas):
\left(\int_{0}^{1}36\,r^{6}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{3}\theta\,d\theta\right).
Calculamos cada parte.
Radial:
\int_{0}^{1}36\,r^{6}\,dr = 36\left[\frac{r^{7}}{7}\right]_{0}^{1}=\frac{36}{7}.
Angular:
Observe que \cos\theta\sin^{3}\theta é exatamente a derivada de \tfrac{1}{4}\sin^{4}\theta porque
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin^{4}\theta}{4}\right)=\sin^{3}\theta\cos\theta.
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{3}\theta\,d\theta = \left[\frac{\sin^{4}\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{\sin^{4}(2\pi)-\sin^{4}(0)}{4}=0.
Outra maneira intuitiva: sobre um período completo as partes positivas e negativas de \cos\theta\sin^{3}\theta se cancelam.

Passo 7

Multiplicando as duas partes obtemos
\frac{36}{7}\times 0 = 0.
Portanto a integral vale zero. Dá para interpretar: por simetria angular (distribuição positiva/negativa do produto y z^{3} no disco), as contribuições se cancelam.

Resposta

0

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