Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas, e depois determinar se ela converge ou diverge. Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada termo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste das Séries Alternadas, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais.
Passo 2
Vamos começar verificando a condição (i) do Teste das Séries Alternadas, que diz que os termos em módulo devem ser decrescentes. Isso significa que precisamos mostrar que
, onde
.
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para ver se ela está decrescendo, vamos comparar
com
:
Comparando com
:
Agora, precisamos verificar se
:
Isso é verdade porque
. Portanto,
, e a condição (i) é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição (ii) do Teste das Séries Alternadas, que requer que o limite de
quando
tende ao infinito seja zero:
Sabemos que
tende a zero bem mais rápido do que
tende ao infinito. Para confirmar isso, podemos reescrever
como:
Usando propriedades de limites, sabemos que exponenciais com base maior que 1 dominam polinômios, então:
Portanto, a condição (ii) também é satisfeita.
Passo 4
Com as duas condições do Teste das Séries Alternadas atendidas (
e
), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
satisfaz as condições (i) e (ii) do Teste das Séries Alternadas e, portanto, converge.