Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n 5^-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas, e depois determinar se ela converge ou diverge. Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada termo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste das Séries Alternadas, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais.

Passo 2

Vamos começar verificando a condição (i) do Teste das Séries Alternadas, que diz que os termos em módulo devem ser decrescentes. Isso significa que precisamos mostrar que an+1 = (n+1) 5^-(n+1) = n+15^n+1 , onde an+1an = (n+1)/5^n+1n/5^n = n+15n .
Primeiro, vamos analisar a sequência n+15n = 15 + 15n < 1 para todo n >= 1 . Para ver se ela está decrescendo, vamos comparar com :
Comparando com :
Agora, precisamos verificar se :
Isso é verdade porque . Portanto, , e a condição (i) é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição (ii) do Teste das Séries Alternadas, que requer que o limite de limn to infty an = limn to infty n 5^-n quando an = n5^n tende ao infinito seja zero:
limn to infty n5^n = 0
Sabemos que tende a zero bem mais rápido do que tende ao infinito. Para confirmar isso, podemos reescrever como:
Usando propriedades de limites, sabemos que exponenciais com base maior que 1 dominam polinômios, então:
Portanto, a condição (ii) também é satisfeita.

Passo 4

Com as duas condições do Teste das Séries Alternadas atendidas ( e ), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série satisfaz as condições (i) e (ii) do Teste das Séries Alternadas e, portanto, converge.

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