Calcule as integrais triplas:
a) integral triplaD x y z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaD x y z ,dx,dy,dz onde D é um paralelepípedo definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 2. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini, que permite escrever integrais triplas em domínios retangulares como integrais iteradas.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini, reescrevemos a integral tripla como integral iterada:
integral triplaD x y z ,dx,dy,dz = integralx=0^2 integraly=0^1 integralz=0^2 x y z ,dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
integral0^2 x y z ,dz = x y integral0^2 z ,dz = x y cdot z^22|0^2 = 2 x y
Com isso, a integral reduz para
integral0^2 integral0^1 2 x y ,dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1 2 x y ,dy = 2 x integral0^1 y ,dy = 2 x cdot 12 = x
Logo ficamos com
integral0^2 x ,dx

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^2 x ,dx = x^22|0^2 = 2
Portanto, o valor da integral tripla é 2.

Resposta

2

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