Exemplo 22: Vamos considerar uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio 2 cm e altura 5 cm. O custo do material usado em sua confeç̧ão é de R$̦ 0,81 por centímetro quadrado. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de ̦ 0,81 por centímetro quadrado Se as dimensões sofrerem um acréscimo de no raio e de no raio e de na altura, pergunta-se:
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa cilíndrica com raio de 2 cm e altura de 5 cm. O custo do material é de R$0,81 por cm². As dimensões vão aumentar: o raio sobe 10% e a altura 2%. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto vai aumentar o custo da caixa com essas mudanças. Para isso, vamos precisar calcular a área da superfície da caixa antes e depois do aumento e, em seguida, ver a diferença de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície da caixa original. Como a caixa é um cilindro com tampa, a área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases (a base de baixo e a tampa de cima).
A área lateral de um cilindro é dada por:
Alateral = 2pi r h
E a área de cada base é:
Abase = pi r^2
Então, a área total da caixa original fica:
Atotal original = 2pi r h + 2pi r^2
Substituindo os valores:
Atotal original = 2pi (2) (5) + 2pi (2)^2 = 20pi + 8pi = 28pi , cm² ²

Passo 3

Agora, vamos calcular as novas dimensões após o aumento. O raio aumenta 10%, então:
rnovo = r + 0,10r = 1,10 times 2 = 2,2 , cm
A altura aumenta 2%, então:
hnovo = h + 0,02h = 1,02 times 5 = 5,1 , cm

Passo 4

Com as novas medidas, vamos calcular a nova área total da caixa:
Atotal nova = 2pi rnovo hnovo + 2pi rnovo^2
Substituindo os valores:
Atotal nova = 2pi (2,2)(5,1) + 2pi (2,2)^2
Atotal nova = 2pi (11,22) + 2pi (4,84)
Atotal nova = 22,44pi + 9,68pi = 32,12pi , cm² ²

Passo 5

Agora, vamos encontrar a diferença na área total da caixa:
De
De²

Passo 6

Para descobrir quanto isso vai custar a mais, multiplicamos a diferença de área pelo custo por cm²:
De
De
De

Resposta

O valor exato do acréscimo no custo da caixa é reais.

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