Exemplo 22: Vamos considerar uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio 2 cm e altura 5 cm. O custo do material usado em sua confeç̧ão é de R$̦ 0,81 por centímetro quadrado. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de
no raio e de
na altura, pergunta-se:
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma caixa cilíndrica com raio de 2 cm e altura de 5 cm. O custo do material é de R$0,81 por cm². As dimensões vão aumentar: o raio sobe 10% e a altura 2%. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto vai aumentar o custo da caixa com essas mudanças. Para isso, vamos precisar calcular a área da superfície da caixa antes e depois do aumento e, em seguida, ver a diferença de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da superfície da caixa original. Como a caixa é um cilindro com tampa, a área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases (a base de baixo e a tampa de cima).
A área lateral de um cilindro é dada por:
E a área de cada base é:
Então, a área total da caixa original fica:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular as novas dimensões após o aumento. O raio aumenta 10%, então:
A altura aumenta 2%, então:
Passo 4
Com as novas medidas, vamos calcular a nova área total da caixa:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a diferença na área total da caixa:
Passo 6
Para descobrir quanto isso vai custar a mais, multiplicamos a diferença de área pelo custo por cm²:
Resposta
O valor exato do acréscimo no custo da caixa é
reais.