Resolva os problemas a seguir utilizando mudança polar de coordenadas.
Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóide z=x^2+y^2, pelos cilindros x^2+y^2= 4, x^2+y^2=9 e pelo plano z=10.

Passo 1

Nesta questão, vamos calcular o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = x^2 + y^2, pelos cilindros x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 9 e pelo plano z = 10. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares (cilíndricas) e integração tripla.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos x = rcostheta, y = rsintheta e temos x^2 + y^2 = r^2. A região no plano xy é um anel com 2 <= r <= 3 e 0 <= theta <= 2pi. O paraboloide fica z = r^2. O volume fica
V = integraltheta=0^2pi integralr=2^3 integralz=r^2^10 r , dz , dr , dtheta

Passo 3

Primeiro, integramos em z:
integralz=r^2^10 r , dz = rl(10 - r^2r)

Passo 4

Em seguida, integramos em r:
integralr=2^3 l(10r - r^3r) dr = [5r^2 - tfrac14r^4]2^3 = 354

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 354 , dtheta = 2pi cdot 354 = 35pi2

Resposta

V = 35pi2

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