Calcule as integrais triplas iteradas:
, onde Ré a região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
no primeiro octante.
Passo 1
Estamos calculando o volume da região R no primeiro octante delimitada pelo cilindro
e pelos planos
,
e
. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para trocar integrais múltiplas e montar os limites corretos de integração para
.
Passo 2
Para entender os limites, note que:
-
varia de 0 até o ponto onde o cilindro ainda existe no primeiro octante, ou seja, de a , pois implica . - Para cada
fixo em , vai de 0 até , vindo do cilindro . - Para cada
, vai de 0 até o plano , ou seja, .
Assim montamos:
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Substituímos no integral em
:
Passo 5
Agora faltam só
:
Calculando term a term:
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