Calcule as integrais triplas iteradas:
integral triplaR d x d y d z, onde Ré a região delimitada pelo cilindro y+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3 x e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

Estamos calculando o volume da região R no primeiro octante delimitada pelo cilindro y+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3x e z=0. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para trocar integrais múltiplas e montar os limites corretos de integração para x,y,z.

Passo 2

Para entender os limites, note que:
  • z varia de 0 até o ponto onde o cilindro ainda existe no primeiro octante, ou seja, de 0 a 3, pois y=0 implica z^2=9.
  • Para cada z fixo em [0,3], y vai de 0 até 9 - z^2, vindo do cilindro y+z^2<=9.
  • Para cada (y,z), x vai de 0 até o plano y=3x, ou seja, x=y/3.
    Assim montamos:
integralz=0^3integraly=0^9 - z^2integralx=0^y/3 dx,dy,dz

Passo 3

Integramos primeiro em x:
integralx=0^y/3 dx = l[xr]0^y/3 = y3

Passo 4

Substituímos no integral em y:
integraly=0^9 - z^2 y3,dy = 13 cdot (9 - z^2)^22 = (9 - z^2)^26

Passo 5

Agora faltam só z:
integralz=0^3 (9 - z^2)^26 ,dz = 16 integral0^3 (81 - 18z^2 + z^4) ,dz
Calculando term a term:
integral0^381,dz = 243, integral0^318z^2,dz = 18 cdot 3^33 = 162, integral0^3z^4,dz = 3^55 = 2435
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16l(243 - 162 + 2435r) = 16l(81 + 2435r) = 64830 = 1085

Resposta

dfrac1085

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