Utilize coordenadas esféricas e calcule as integrais a seguir,
onde
está delimitada pela esfera
no primeiro octante.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a integral
onde
é a região no primeiro octante limitada pela esfera
. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas e precisamos usar a mudança de variáveis com o jacobiano
, além de determinar os limites de integração.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as relações
,
,
e
. Como estamos no primeiro octante, os limites são
,
e
.
Passo 3
Montamos a integral tripla em esféricas:
[ \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{3} r^2 \sin\phi ,dr,d\phi,d\theta ].
[ \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{3} r^2 \sin\phi ,dr,d\phi,d\theta ].
Passo 4
Primeiro integramos em
:
[ \int_{0}^{3} r^2 ,dr = \left[\frac{r3}{3}\right]_03 = \frac{27}{3} = 9 ].
[ \int_{0}^{3} r^2 ,dr = \left[\frac{r3}{3}\right]_03 = \frac{27}{3} = 9 ].
Passo 5
Depois integramos em
:
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin\phi ,d\phi = \left[-\cos\phi\right]_0^{\pi/2} = 1 ].
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin\phi ,d\phi = \left[-\cos\phi\right]_0^{\pi/2} = 1 ].
Passo 6
Por fim, integramos em
:
[ \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2} ].
[ \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2} ].