Utilize coordenadas esféricas e calcule as integrais a seguir,
integral triplaR d x d y d z onde R está delimitada pela esfera x^2+y^2+z^2=9 no primeiro octante.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral triplaR dxdydz onde R é a região no primeiro octante limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=9. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas e precisamos usar a mudança de variáveis com o jacobiano r^2sinphi, além de determinar os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as relações x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi e dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Como estamos no primeiro octante, os limites são rin[0,3], phiin[0,pi/2] e thetain[0,pi/2].

Passo 3

Montamos a integral tripla em esféricas:
[ \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{3} r^2 \sin\phi ,dr,d\phi,d\theta ].

Passo 4

Primeiro integramos em r:
[ \int_{0}^{3} r^2 ,dr = \left[\frac{r3}{3}\right]_03 = \frac{27}{3} = 9 ].

Passo 5

Depois integramos em phi:
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin\phi ,d\phi = \left[-\cos\phi\right]_0^{\pi/2} = 1 ].

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
[ \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2} ].

Resposta

9pi2

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