Calcule o limite lim x 0 x^2+x+1-e^xx^3+2 x^2.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o limite limxto 0 x^2+x+1-e^xx^3+2x^2. O conteúdo principal é limite de funções e vamos usar expansão em série de Taylor de e^x em torno de zero pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, a gente testa a substituição direta: se x=0, o numerador fica 0^2+0+1-e^0=1-1=0 e o denominador fica 0^3+2cdot0^2=0. Então é uma forma indeterminada 0/0, e precisamos de outro método.

Passo 3

Uma forma bem prática é pegar a expansão de Taylor de e^x em torno de 0 até a ordem 3:
e^x=1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4)
Substituindo isso no numerador temos:
x^2+x+1 - e^x = x^2+x+1 -l(1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4)r) = x^2-x^22 - x^36 + O(x^4) = x^22 - x^36 + O(x^4)

Passo 4

O denominador é simples de escrever até a ordem 3:
x^3+2x^2 = x^2(2 + x)

Passo 5

Agora montamos a razão e fatoramos x^2:
x^22 - x^36 + O(x^4)x^2(2 + x) = x^2l(12 - x6 + O(x^2)r)x^2(2 + x) = 12 - x6 + O(x^2)2 + x

Passo 6

Por fim, basta fazer xto0 nessa última expressão, o que dá
12 - 02 + 0 = 1/22 = 14

Resposta

tfrac14

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