Faça um esboço e determine a área da região finita, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: vamos esboçar e achar a área da região no 1º quadrante limitada pela hipérbole y=1/x e pela reta y=−1,25x+3. O conteúdo envolvido é geometria por integração, e vamos precisar achar pontos de interseção e calcular uma integral definida.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
. Multiplicando por
obtemos:
As raízes são
$$x = \frac{12 \pm 8}{10} \implies x = 0.4 \quade\quad x = 2.
$$
Correspondem aos pontos e
.
Correspondem aos pontos
Passo 3
Determinar qual curva fica acima no intervalo
. Por exemplo, em
temos
$$1/x = 1 \quade\quad -1.25\cdot1+3 = 1.75,
$$
logo a reta está acima da hipérbole nesse intervalo.
logo a reta está acima da hipérbole nesse intervalo.
Passo 4
Montar a integral para a área como a diferença entre a reta e a hipérbole:
Passo 5
Calcular as primitives:
Então a primitiva da integranda é
Passo 6
Avaliar nos limites e simplificar:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.