Faça um esboço e determine a área da região finita, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y=1x e y=-1,25 x+3.

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos esboçar e achar a área da região no 1º quadrante limitada pela hipérbole y=1/x e pela reta y=−1,25x+3. O conteúdo envolvido é geometria por integração, e vamos precisar achar pontos de interseção e calcular uma integral definida.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo 1/x = -1.25x + 3. Multiplicando por x obtemos:
1 = -1.25x^2 + 3x implies 1.25x^2 - 3x + 1 = 0 implies 5x^2 - 12x + 4 = 0
As raízes são
$$x = \frac{12 \pm 8}{10} \implies x = 0.4 \quade\quad x = 2.
$$
Correspondem aos pontos x = 12 pm 810 implies x = 0.4 e x = 2 e (0.4,2.5).

Passo 3

Determinar qual curva fica acima no intervalo [0.4,2]. Por exemplo, em x=1 temos
$$1/x = 1 \quade\quad -1.25\cdot1+3 = 1.75,
$$
logo a reta está acima da hipérbole nesse intervalo.

Passo 4

Montar a integral para a área como a diferença entre a reta e a hipérbole:
Área = integral0.4^2 l[(-1.25x + 3) - tfrac1xr] ,dx Á

Passo 5

Calcular as primitives:
integral(-1.25x + 3),dx = -0.625x^2 + 3x,
integral tfrac1x,dx = ln x
Então a primitiva da integranda é
F(x) = -0.625x^2 + 3x - ln x

Passo 6

Avaliar nos limites e simplificar:
Área = F(2) - F(0.4) = (3.5 - ln2) - (1.1 - ln0.4) = 2.4 + lnl(0.4/2r) = 2.4 + ln0.2 = 2.4 - ln5 Á

Resposta

A área da região é 125 - ln(5) unidades quadradas.

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