Calcule as integrais triplas iteradas:
integral0^1 integral0^z integral0^x+y 6 x y d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
Conteúdo: integração múltipla (integrais iteradas).
Vamos precisar saber integrar funções polinomiais de uma variável em cada etapa.

Passo 2

Primeiro fazemos a integral interna em y:
Temos
I1(x,z)=integral0^x+z6xy,dy
Como x e z são constantes nessa etapa,
I1(x,z)=6xintegral0^x+zy,dy=6xcdot(x+z)^22=3x(x+z)^2

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a z:
I2(z)=integral0^z3x(x+z)^2,dx
Expandindo o integrando:
3x(x+z)^2=3x(x^2+2xz+z^2)=3x^3+6zx^2+3z^2x
Logo,
I2(z)=integral0^z(3x^3+6zx^2+3z^2x),dx =l[3x^44+2zx^3+3z^2x^22r]0^z
Substituindo x=z:
I2(z)=3z^44+2zcdot z^3+3z^2cdot z^22=3z^44+2z^4+3z^42=174z^4

Passo 4

Por fim, integramos em z de 0 a 1:
integral0^1I2(z),dz=integral0^1174z^4,dz=174cdot15=1720

Resposta

17/20

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