Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girar ao redor do eixo x a região limitada pelo arco da parábola y=8-2 x^2 e o eixo x. Faça um esboço da região no plano e do sólido de revolução no espaço.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pela parábola y=8-2x^2 e o eixo x. Isso faz parte do conteúdo de volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos. Para resolver, vamos precisar: determinar os limites de integração, usar a fórmula geral V=piintegral f(x)^2,dx e calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro encontramos onde a curva intercepta o eixo x, resolvendo 8-2x^2=0, o que dá x=pm2. A região no plano xy é o trecho da parábola entre x=-2 e x=2 sobre o eixo x. Para esboçar, desenhe a parábola invertida com vértice em (0,8) e interceptações em (-2,0) e (2,0). Ao girar isso em torno do eixo x, cada ponto da curva gera um círculo, formando um sólido simétrico parecido com um “sino”.
No método dos discos, imaginamos fatias finas perpendiculares ao eixo x. Em cada posição x, o raio do disco é a altura da curva até o eixo, ou seja y=f(x)=8-2x^2. A área do disco é então pi[f(x)]^2.

Passo 3

Montando a integral do volume, temos:
V=piintegral-2^2(8-2x^2)^2,dx

Passo 4

Agora expandimos e integramos:
(8-2x^2)^2 = 64 - 32x^2 + 4x^4,
integral-2^2(64 - 32x^2 + 4x^4),dx = l[64x - 32x^33 + 4x^55r]-2^2 = 204815

Passo 5

Multiplicando por pi, o volume do sólido de revolução fica
2048pi15

Resposta

tfrac2048pi15

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