O modelo de FitzHugh-Nagumo para a atividade elétrica de neurônios corresponde ao seguinte sistema de duas equações autônomas:
onde as variáveis dependentes (do tempo
) são
(voltagem da membrana celular) e
(variável de recuperação). Os parâmetros do modelo são
e
.
Mostre que, para
e
, esse sistema possui um único equilíbrio. Mostre, adicionalmente, que tal equilíbrio é assintoticamente estável.
Mostre que, para
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de FitzHugh–Nagumo com parâmetros fixos em a=0.1, b=0.01, c=I=0 e pede para mostrar que há um único ponto de equilíbrio e que ele é assintoticamente estável. Vamos usar a teoria de sistemas autônomos de duas dimensões, encontrando pontos de equilíbrio e analisando a linearização (jacobiano).
Passo 2
Procuramos os pontos de equilíbrio impondo v’=0 e w’=0. Como w’=0.01·v=0, segue v=0. Substituindo em v’=v(0.1−v)(v−1)−w=0 com v=0, obtemos −w=0, isto é w=0. Logo, o único equilíbrio é (v,w)=(0,0).
Passo 3
Para verificar estabilidade, definimos f(v,w)=v(0.1−v)(v−1)−w e g(v,w)=0.01·v e calculamos as derivadas parciais:
Avaliando essas derivadas em (0,0), obtemos o jacobiano
$$
J(0,0)=
.
Passo 4
Calculamos o discriminante
, o que gera autovalores complexos com parte real
. Assim, o equilíbrio em (0,0) é um foco assintoticamente estável.
Resposta
O sistema tem único equilíbrio em (0,0), que é assintoticamente estável.