O modelo de FitzHugh-Nagumo para a atividade elétrica de neurônios corresponde ao seguinte sistema de duas equações autônomas:
v^prime=v(a-v)(v-1)-w+I, w^prime=b V-c w
onde as variáveis dependentes (do tempo t) são v (voltagem da membrana celular) e w (variável de recuperação). Os parâmetros do modelo são a, I, b e c.
Mostre que, para a=0.1, b=0.01 e c=I=0, esse sistema possui um único equilíbrio. Mostre, adicionalmente, que tal equilíbrio é assintoticamente estável.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de FitzHugh–Nagumo com parâmetros fixos em a=0.1, b=0.01, c=I=0 e pede para mostrar que há um único ponto de equilíbrio e que ele é assintoticamente estável. Vamos usar a teoria de sistemas autônomos de duas dimensões, encontrando pontos de equilíbrio e analisando a linearização (jacobiano).

Passo 2

Procuramos os pontos de equilíbrio impondo v’=0 e w’=0. Como w’=0.01·v=0, segue v=0. Substituindo em v’=v(0.1−v)(v−1)−w=0 com v=0, obtemos −w=0, isto é w=0. Logo, o único equilíbrio é (v,w)=(0,0).

Passo 3

Para verificar estabilidade, definimos f(v,w)=v(0.1−v)(v−1)−w e g(v,w)=0.01·v e calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial v=-3v^2+2.2v-0.1, partial fpartial w=-1, partial gpartial v=0.01, partial gpartial w=0
Avaliando essas derivadas em (0,0), obtemos o jacobiano
$$
J(0,0)= J(0,0)=-0.1 & -1 0.01 & 0 .
det(J-lambda I)=lambda^2+0.1lambda+0.01=0çãíé\det(J-\lambda I)=\lambda^2+0.1\lambda+0.01=0.$$

Passo 4

Calculamos o discriminante De, o que gera autovalores complexos com parte real -0.05<0. Assim, o equilíbrio em (0,0) é um foco assintoticamente estável.

Resposta

O sistema tem único equilíbrio em (0,0), que é assintoticamente estável.

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