.
Podemos afirmar que a série acima:
A) Converge para
.
B) Converge para
.
C) Diverge.
D) Converge para
.
E) Converge para
.
Podemos afirmar que a série acima:
A) Converge para
B) Converge para
C) Diverge.
D) Converge para
E) Converge para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é a soma de dois termos:
e
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge (isto é, se ela soma a um número finito) ou diverge (não soma a um número finito). Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos sobre séries e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da série separadamente. A série original pode ser dividida em duas séries:
Passo 3
Vamos começar com a primeira série:
. Podemos simplificar esse termo para entender melhor seu comportamento. Note que
se comporta de forma semelhante a
quando k cresce grande. Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge, ou seja, não soma a um número finito.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a segunda série:
. Essa é um exemplo de uma série p, onde o termo geral é
. Sabemos que uma série p converge se o valor de p for maior que 1. No nosso caso,
, que é maior que 1, então essa série converge.
Passo 5
Agora que analisamos as duas partes separadamente, precisamos ver o que acontece quando somamos uma série que diverge com uma que converge. Se você somar algo que não para (diverge) com algo que soma a um número finito (converge), o resultado final ainda será algo que não para, ou seja, diverge.
Resposta
A série
diverge.
Opção C)
Opção C)