sumk=1^+infty[13 k+2+1k^3 / 2].
Podemos afirmar que a série acima:
A) Converge para 32.
B) Converge para 23.
C) Diverge.
D) Converge para 13.
E) Converge para 12.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é a soma de dois termos: 13k+2 e 1k^3/2. Nosso objetivo é determinar se essa série converge (isto é, se ela soma a um número finito) ou diverge (não soma a um número finito). Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos sobre séries e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da série separadamente. A série original pode ser dividida em duas séries:
  1. sumk=1^+infty 13k+2
  2. sumk=1^+infty 1k^3/2

Passo 3

Vamos começar com a primeira série: sumk=1^+infty 13k+2. Podemos simplificar esse termo para entender melhor seu comportamento. Note que 13k+2 se comporta de forma semelhante a 1k quando k cresce grande. Sabemos que a série sumk=1^+infty 1k é a famosa série harmônica, que diverge, ou seja, não soma a um número finito.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda série: sumk=1^+infty 1k^3/2. Essa é um exemplo de uma série p, onde o termo geral é 1k^p. Sabemos que uma série p converge se o valor de p for maior que 1. No nosso caso, p = 32, que é maior que 1, então essa série converge.

Passo 5

Agora que analisamos as duas partes separadamente, precisamos ver o que acontece quando somamos uma série que diverge com uma que converge. Se você somar algo que não para (diverge) com algo que soma a um número finito (converge), o resultado final ainda será algo que não para, ou seja, diverge.

Resposta

A série sumk=1^+infty[13 k+2+1k^3 / 2] diverge.
Opção C)

Exercícios relacionados