Resolva:
1.1 y^prime prime(x)+16 y(x)=0

Passo 1

Beleza, o exercício que temos aqui é resolver a equação diferencial y''(x) + 16 y(x) = 0. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver a chamada equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos criar a equação característica. Na equação diferencial y''(x) + 16 y(x) = 0, substituímos y'' por r^2 e y por 1, ficando assim: r^2 + 16 = 0.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica: r^2 + 16 = 0. Para achar r, isolamos: r^2 = -16. Tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos r = pm raiz-16 = pm 4i. Isso significa que as raízes são números imaginários puros.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são imaginárias puras, a solução geral da equação diferencial envolve funções seno e cosseno. Assim, a solução geral fica: y(x) = A cos(4x) + B sin(4x), onde A e B são constantes que podem ser determinadas com condições adicionais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y(x) = A cos(4x) + B sin(4x).

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