Resolva:
Passo 1
Beleza, o exercício que temos aqui é resolver a equação diferencial
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver a chamada equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos criar a equação característica. Na equação diferencial
, substituímos
por
e
por 1, ficando assim:
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica:
. Para achar
, isolamos:
. Tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos
. Isso significa que as raízes são números imaginários puros.
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são imaginárias puras, a solução geral da equação diferencial envolve funções seno e cosseno. Assim, a solução geral fica:
, onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições adicionais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.