Calcule as integrais triplas a seguir:
integral-1^1 integral0^2-z^2 integral0^4-z d x d y d z

Passo 1

Temos a integral tripla
I=integralz=-1^1integraly=0^2-z^2integralx=0^4-zdx,dy,dz
O conteúdo é cálculo de volume via integrais iteradas. Vamos integrar sucessivamente em x, y e z.

Passo 2

Primeiro, integramos em x:
integral0^4-zdx=4-z
Logo a integral fica
I=integral-1^1integral0^2-z^2(4-z),dy,dz

Passo 3

Agora integramos em y. Como (4-z) não depende de y, temos:
integral0^2-z^2(4-z),dy=(4-z)(2-z^2)
Expandindo:
(4-z)(2-z^2)=8-4z^2-2z+z^3
Então
I=integral-1^1l(8-4z^2-2z+z^3r)dz

Passo 4

Fazemos agora a integral em z. Uma antiderivada de 8-4z^2-2z+z^3 é:
8z-43z^3-z^2+14z^4
Portanto
I=l[8z-43z^3-z^2+14z^4r]-1^1

Passo 5

Avaliando em z=1 e z=-1:
Para z=1:
8-43-1+14=7112
Para z=-1:
-8+43-1+14=-8912
Subtraindo:
I=7112-l(-8912r)=16012=403

Resposta

40/3

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