Calcule as integrais triplas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
. O conteúdo aqui é integração iterada em três variáveis, usando a definição de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar reconhecer que os limites em
estão invertidos (o inferior
é maior que o superior
) e aplicar a integração passo a passo.
Passo 2
Para a integração em
, tratamos
como constante e usamos que
. Então temos:
$$\int_{y=x+z}^{x-z} z,dy = z\bigl[(x - z) - (x + z)\bigr] = z\bigl(-2z\bigr) = -2z^{2}.
$$
Passo 3
Agora a integral em
fica
Novamente
$$\int_{0}{z{3}} (-2z^{2}),dx = -2z{2}\bigl[x\bigr]_{0}{z^{3}} = -2z{2}\cdot(z{3}) = -2z^{5}.
$$
Passo 4
Por fim, integramos em
:
$$\int_{z=1}^{2} (-2z^{5}),dz = -2\int_{1}^{2} z^{5},dz = -2\Bigl[\frac{z{6}}{6}\Bigr]_{1}{2} = -2\Bigl(\frac{2^{6}}{6} - \frac{1^{6}}{6}\Bigr) = -2\Bigl(\frac{64 - 1}{6}\Bigr) = -2\cdot\frac{63}{6} = -21.
$$
Aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada .
Aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada
Passo 5
Portanto, a integral tripla dada vale -21.
Resposta
-21