Calcule as integrais triplas a seguir:
integral1^2 integral0^z^3 integralx+z^x-z z d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integralz=1^2integralx=0^z^3integraly=x+z^x-z z,dy,dx,dz. O conteúdo aqui é integração iterada em três variáveis, usando a definição de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar reconhecer que os limites em y estão invertidos (o inferior x+z é maior que o superior x-z) e aplicar a integração passo a passo.

Passo 2

Para a integração em y, tratamos z como constante e usamos que integrala^b c,dy = c,(b-a). Então temos:
$$\int_{y=x+z}^{x-z} z,dy = z\bigl[(x - z) - (x + z)\bigr] = z\bigl(-2z\bigr) = -2z^{2}.
$$

Passo 3

Agora a integral em x fica
integralx=0^z^3 (-2z^2),dx
Novamente -2z^2 é constante em relação a x, então
$$\int_{0}{z{3}} (-2z^{2}),dx = -2z{2}\bigl[x\bigr]_{0}{z^{3}} = -2z{2}\cdot(z{3}) = -2z^{5}.
$$

Passo 4

Por fim, integramos em z:
$$\int_{z=1}^{2} (-2z^{5}),dz = -2\int_{1}^{2} z^{5},dz = -2\Bigl[\frac{z{6}}{6}\Bigr]_{1}{2} = -2\Bigl(\frac{2^{6}}{6} - \frac{1^{6}}{6}\Bigr) = -2\Bigl(\frac{64 - 1}{6}\Bigr) = -2\cdot\frac{63}{6} = -21.
$$
Aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada integralz=1^2 (-2z^5),dz = -2integral1^2 z^5,dz = -2l[z^66r]1^2 = -2l(2^66 - 1^66r) = -2l(64 - 16r) = -2cdot636 = -21 .

Passo 5

Portanto, a integral tripla dada vale -21.

Resposta

-21

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