Resolva:
y^prime prime prime(x)-2 y^prime prime=3 x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
y^prime prime prime(x) - 2 y^prime prime = 3 x^2 - 2 x + 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer unções homogêneas e particulares, além de como resolver equações características. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
y^prime prime prime - 2 y^prime prime = 0
Isso significa que a parte sem o lado direito deve ser igual a zero. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{r x} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{r x} $ na equação homogênea:
y = e^r x
Plugando de volta na equação:
y^prime = r e^r x y^prime prime = r^2 e^r x y^prime prime prime = r^3 e^r x
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, temos então:
r^3 e^r x - 2 r^2 e^r x = 0 e^r x (r^3 - 2 r^2) = 0

Passo 4

Resolvendo $ r^{2}(r - 2) = 0 $, encontramos as raízes:
r^2(r - 2) = 0
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
r = 0 (dupla) r = 2
Onde $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ para a equação completa:
yp
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular também como polinômio. Vamos supor:
y^prime prime prime - 2 y^prime prime = 3 x^2 - 2 x + 1
Escolhemos grau 3 porque na parte homogênea temos $ r = 0 $ com multiplicidade 2, então para evitar duplicidade, aumentamos o grau do polinômio.

Passo 6

Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
yp
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
yp' = 3A x^2 + 2B x + C yp'' = 6A x + 2B yp''' = 6A

Passo 7

Reorganizando os termos:
-12A x + (6A - 4B) = 3x^2 - 2x + 1
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de $ x^{2} $, $ x $ e os termos constantes devem ser iguais:
  • Coeficiente de $ x^{2} $: $ 0 = 3 $ ⟹ Não há $ x^{2} $ no lado esquerdo, o que indica que nossa suposição inicial estava errada.
Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para incluir um termo que possa gerar um $ x^{2} $ após as derivadas. Então, vamos tentar:
x

Passo 8

Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
yp
Substituindo na equação original:
yp' = 4A x^3 + 3B x^2 + 2C x + D yp'' = 12A x^2 + 6B x + 2C yp''' = 24A x + 6B
Reorganizando:
24A x + 6B - 2(12A x^2 + 6B x + 2C) = 3x^2 - 2x + 1 24A x + 6B - 24A x^2 - 12B x - 4C = 3x^2 - 2x + 1

Passo 9

Igualando os coeficientes de cada termo:
  1. Coeficiente de $ x^{2} $:
    x^2
  2. Coeficiente de $ x $:
    -24A = 3 Rightarrow A = -324 = -18
  3. Termo constante:
    x
Agora, temos $ A = -\frac{1}{8} $, $ B = -\frac{1}{12} $, e $ C = -\frac{3}{8} $. Podemos escolher $ D $ e $ E $ como zero, já que não há termos correspondentes a eles no lado direito da equação.

Passo 10

Assim, a solução particular é:
yp = -18 x^4 - 112 x^3 - 38 x^2

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 + C2 x + C3 e^2x - 18 x^4 - 112 x^3 - 38 x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x - 18 x^4 - 112 x^3 - 38 x^2
Onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.

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