Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer unções homogêneas e particulares, além de como resolver equações características. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Isso significa que a parte sem o lado direito deve ser igual a zero. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{r x} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{r x} $ na equação homogênea:
Plugando de volta na equação:
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, temos então:
Passo 4
Resolvendo $ r^{2}(r - 2) = 0 $, encontramos as raízes:
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
Onde $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular também como polinômio. Vamos supor:
Escolhemos grau 3 porque na parte homogênea temos $ r = 0 $ com multiplicidade 2, então para evitar duplicidade, aumentamos o grau do polinômio.
Passo 6
Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Passo 7
Reorganizando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de $ x^{2} $, $ x $ e os termos constantes devem ser iguais:
- Coeficiente de $ x^{2} $: $ 0 = 3 $ ⟹ Não há $ x^{2} $ no lado esquerdo, o que indica que nossa suposição inicial estava errada.
Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para incluir um termo que possa gerar um $ x^{2} $ após as derivadas. Então, vamos tentar:
Passo 8
Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
Substituindo na equação original:
Reorganizando:
Passo 9
Igualando os coeficientes de cada termo:
-
Coeficiente de $ x^{2} $:
-
Coeficiente de $ x $:
-
Termo constante:
Agora, temos $ A = -\frac{1}{8} $, $ B = -\frac{1}{12} $, e $ C = -\frac{3}{8} $. Podemos escolher $ D $ e $ E $ como zero, já que não há termos correspondentes a eles no lado direito da equação.
Passo 10
Assim, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.